Determine os valores de
para que a seguinte série seja convergente:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de
tais que a série
seja convergente. O conteúdo aqui é séries infinitas, em especial séries geométricas, já que o termo geral tem a forma de uma razão fixa elevada a
. Vamos usar a convergência de séries geométricas e o fato de que multiplicar por uma constante não afeta a convergência.
Passo 2
Observe que podemos fatorar
em cada termo da soma:
Agora basta estudar a convergência da série geométrica
.
Passo 3
Reconhecemos a série geométrica de razão
pois
Uma série geométrica
converge se, e somente se,
. Aqui temos
, logo
é convergente.
Passo 4
Como a série geométrica converge e
é apenas um fator constante multiplicando a soma, a convergência não depende de
. Portanto, a série original converge para todo
.
Resposta
A série converge para todo
.