Determine os valores de x para que a seguinte série seja convergente:
s7=sumk=1^+infty(-1)^k 2^-k x

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x tais que a série
s = sumk=1^infty(-1)^k2^-kx
seja convergente. O conteúdo aqui é séries infinitas, em especial séries geométricas, já que o termo geral tem a forma de uma razão fixa elevada a k. Vamos usar a convergência de séries geométricas e o fato de que multiplicar por uma constante não afeta a convergência.

Passo 2

Observe que podemos fatorar x em cada termo da soma:
s = xsumk=1^infty(-1)^k2^-k
Agora basta estudar a convergência da série geométrica
sumk=1^infty(-1)^k2^-k.

Passo 3

Reconhecemos a série geométrica de razão
r = -tfrac12,
pois
(-1)^k2^-k = l(-tfrac12r)^k
Uma série geométrica sumk=1^inftyr^k converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui temos lvert -tfrac12rvert=tfrac12<1, logo
sumk=1^inftyl(-tfrac12r)^k
é convergente.

Passo 4

Como a série geométrica converge e x é apenas um fator constante multiplicando a soma, a convergência não depende de x. Portanto, a série original converge para todo xinR.

Resposta

A série converge para todo xinR.

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