Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justifique a sua resposta!.
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se, em uma estrutura algébrica (por exemplo, grupo ou espaço vetorial) com
, vale
Aqui
e
são, respectivamente, o menor subgrupo (ou subespaço) que contém
e o menor que contém
. Vamos usar a definição de “menor subgrupo gerado” e sua propriedade de minimalidade.
Passo 2
Por definição,
é a intersecção de todos os subgrupos (ou subespaços) que contêm
. Dessa forma, se
é qualquer subgrupo tal que
então, por minimalidade,
Passo 3
Como
, o subgrupo
(que, por definição, contém
) também contém
. Logo, aplicando a propriedade do passo anterior com
, obtemos
Resposta
A afirmação é verdadeira.