Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justifique a sua resposta!.
Se X subset Y então lang<= Xrang<= subsetlang<= Yrang<=.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se, em uma estrutura algébrica (por exemplo, grupo ou espaço vetorial) com Xsubset Y, vale
lang<= Xrang<= subset lang<= Yrang<=
Aqui lang<= Xrang<= e lang<= Yrang<= são, respectivamente, o menor subgrupo (ou subespaço) que contém X e o menor que contém Y. Vamos usar a definição de “menor subgrupo gerado” e sua propriedade de minimalidade.

Passo 2

Por definição, lang<= Xrang<= é a intersecção de todos os subgrupos (ou subespaços) que contêm X. Dessa forma, se H é qualquer subgrupo tal que
X subset H,
então, por minimalidade,
lang<= Xrang<= subset H

Passo 3

Como X subset Y, o subgrupo lang<= Yrang<= (que, por definição, contém Y) também contém X. Logo, aplicando a propriedade do passo anterior com H = lang<= Yrang<=, obtemos
lang<= Xrang<= subset lang<= Yrang<=

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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