Verifique se os seguintes subconjuntos são linearmente dependentes ou linearmente independentes nos respetivos espaços vetoriais sobre R.
(1,1,1),(0,1,2),(3,-1,4) em R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
(1,1,1),(0,1,2),(3,-1,4)
é linearmente dependente ou independente em R^3.
Para isso, vamos usar a definição: são linearly independentes se, na combinação
a(1,1,1) + b(0,1,2) + c(3,-1,4) = (0,0,0),
a única solução for a = b = c = 0.

Passo 2

Escrevemos o sistema de equações que vem da igualdade acima:
a + 0,b + 3c = 0, a + b - c = 0, a + 2b + 4c = 0

Passo 3

Da primeira equação temos
a + 3c = 0 Longrightarrow a = -3c
Substituindo em a + b - c = 0
(-3c) + b - c = 0 Longrightarrow b = 4c

Passo 4

Agora usamos esses valores na terceira equação:
(-3c) + 2(4c) + 4c = -3c + 8c + 4c = 9c = 0 Longrightarrow c = 0
Com c=0 vem a=-3c=0 e b=4c=0. Logo só existe a solução trivial.

Passo 5

Como a única solução de
a(1,1,1) + b(0,1,2) + c(3,-1,4) = (0,0,0)
é a=b=c=0, concluímos que o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente em R^3.

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