Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justifique a sua resposta!.
Se lang<= Xrang<= subsetlang<= Yrang<= então X subset Y.

Passo 1

O enunciado pergunta se, em um espaço vetorial, a inclusão dos subespaços gerados implica a inclusão dos conjuntos originais; ou seja, dado X,Ysubset V, será que
lang<= Xrang<= subset lang<= Yrang<= Longrightarrow Xsubset Y?
O conteúdo aqui é geração de subespaços (span) e propriedades de inclusão.

Passo 2

Por definição,
lang<= Xrang<= =lsumi=1^nalphai xi mid ninN,,alphaiin K,,xiin Xr
Em particular vale Xsubsetlang<= Xrang<=. A hipótese lang<= Xrang<=subsetlang<= Yrang<= diz que toda combinação de elementos de X é também combinação de elementos de Y.

Passo 3

Da inclusão lang<= Xrang<=subsetlang<= Yrang<= decorre que cada elemento xin X (visto como combinação trivial) está em lang<= Yrang<=, ou seja, pode ser escrito como combinação linear de elementos de Y. Mas isso não obriga que x pertença ao próprio conjunto Y: basta que x seja alguma combinação de elementos de Y.

Passo 4

Contra-exemplo simples em R (espaço vetorial sobre si mesmo): escolha
X=1, Y=2
Então
lang<= Xrang<= =acdot1mid ainR =R, lang<= Yrang<= =bcdot2mid binR =R,
logo lang<= Xrang<==R=lang<= Yrang<=, ou seja lang<= Xrang<=subsetlang<= Yrang<=. Mas 1notin Y, então Xnotsubset Y.

Resposta

A afirmação é falsa.

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