Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justifique a sua resposta!.
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, em um espaço vetorial, a inclusão dos subespaços gerados implica a inclusão dos conjuntos originais; ou seja, dado
, será que
O conteúdo aqui é geração de subespaços (span) e propriedades de inclusão.
Passo 2
Por definição,
Em particular vale
. A hipótese
diz que toda combinação de elementos de
é também combinação de elementos de
.
Passo 3
Da inclusão
decorre que cada elemento
(visto como combinação trivial) está em
, ou seja, pode ser escrito como combinação linear de elementos de
. Mas isso não obriga que
pertença ao próprio conjunto
: basta que
seja alguma combinação de elementos de
.
Passo 4
Contra-exemplo simples em
(espaço vetorial sobre si mesmo): escolha
Então
logo
, ou seja
. Mas
, então
.
Resposta
A afirmação é falsa.