Verifique se os seguintes subconjuntos são linearmente dependentes ou linearmente independentes nos respetivos espaços vetoriais sobre R.
(cc1 & -1 2 & 1),(cc2 & -2 2 & 1) em M2(R).

Passo 1

O enunciado nos dá os dois matrizes
A = 1 & -12 & 1, B = 2 & -22 & 1
no espaço vetorial M2(R) e pede para verificar se o conjunto A,B é linearmente dependente ou independente. Vamos usar a definição: o conjunto é independente se a única combinação linear que dá a matriz zero é trivial.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,betainR tais que
alpha A + beta B = 0 & 00 & 0
Ou seja,
alpha 1 & -12 & 1 + beta 2 & -22 & 1 = 0 & 00 & 0

Passo 3

Igualando entrada a entrada, obtemos o sistema
alpha + 2beta = 0, -alpha - 2beta = 0, 2alpha + 2beta = 0, alpha + beta = 0

Passo 4

Note que a segunda equação é
Subtraindo a segunda da primeira vem .

Passo 5

Como a única solução é alpha=beta=0, concluímos que não há combinação linear não trivial que anule A e B.

Resposta

O conjunto A,B é linearmente independente em M2(R).

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