Determine se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta (mostre, caso verdadeira e dê um contra-exemplo caso falsa):
(c) ( ) Existe apenas uma assíntota horizontal para o gráfico da função f(x)=\frac{x^{2}+1}{3 x-2 x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se existe apenas uma assíntota horizontal no gráfico de
f(x)=\frac{x^{2}+1}{3x-2x^{2}}.
Para isso, usamos que as assíntotas horizontais correspondem aos limites \lim_{x\to+\infty}f(x) e \lim_{x\to-\infty}f(x): se forem finitos e iguais, há exatamente uma assíntota; se forem finitos e diferentes, há duas; se algum for infinito, não há nessa direção.

Passo 2

Calculemos \lim_{x\to+\infty}f(x). Escrevendo
f(x)=\frac{x^{2}+1}{3x-2x^{2}} =\frac{x^{2}\bigl(1+\frac1{x^{2}}\bigr)}{x^{2}\bigl(-2+\frac{3}{x}\bigr)} =\frac{1+\frac1{x^{2}}}{-2+\frac{3}{x}},
quando x\to+\infty os termos \tfrac1{x^{2}} e \tfrac3{x} vão a zero, logo
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\frac{1+0}{-2+0} =-\tfrac12.

Passo 3

Agora \lim_{x\to-\infty}f(x). Na mesma expressão
\frac{1+\frac1{x^{2}}}{-2+\frac{3}{x}},
quando x\to-\infty temos de novo \tfrac1{x^{2}}\to0 e \tfrac3{x}\to0, portanto
\lim_{x\to-\infty}f(x) =-\tfrac12.

Passo 4

Como os dois limites no infinito são finitos e coincidem em -\tfrac12, existe exatamente uma assíntota horizontal, dada por
y=-\tfrac12.

Resposta

A afirmativa é verdadeira. Existe apenas a assíntota horizontal y=-\tfrac12.

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