Determine se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta (mostre, caso verdadeira e dê um contra-exemplo caso falsa):
(c) ( ) Existe apenas uma assíntota horizontal para o gráfico da função
.
(c) ( ) Existe apenas uma assíntota horizontal para o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede para decidir se existe apenas uma assíntota horizontal no gráfico de
Para isso, usamos que as assíntotas horizontais correspondem aos limites
e
: se forem finitos e iguais, há exatamente uma assíntota; se forem finitos e diferentes, há duas; se algum for infinito, não há nessa direção.
Passo 2
Calculemos
. Escrevendo
quando
os termos
e
vão a zero, logo
Passo 3
Agora
. Na mesma expressão
quando
temos de novo
e
, portanto
Passo 4
Como os dois limites no infinito são finitos e coincidem em
, existe exatamente uma assíntota horizontal, dada por
Resposta
A afirmativa é verdadeira. Existe apenas a assíntota horizontal
.