Determine se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta (mostre, caso verdadeira e dê um contra-exemplo caso falsa):
(d) ( ) Se a reta x=1 for uma assíntota vertical de y=f(x), então f não está definida em x=1.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmativa “Se a reta x=1 for uma assíntota vertical de y=f(x), então f não está definida em x=1” é verdadeira ou falsa. Vamos usar o conceito de assíntota vertical, que diz que x=1 é assíntota vertical se pelo menos um dos limites laterais
\lim_{x\to1^-}f(x)\quad\text{ou}\quad\lim_{x\to1^+}f(x)
é infinito (positivo ou negativo).

Passo 2

Pela definição de assíntota vertical, o comportamento de f em x=1 não entra na exigência: só importa o que acontece em valores de x próximos de 1, mas diferentes de 1. Portanto, mesmo que f tenha limites divergentes ao se aproximar de 1, nada impede que se defina um valor f(1) arbitrário.

Passo 3

Contraexemplo: defina
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x-1},&x\neq1,\\[6pt] 0,&x=1. \end{cases}
Para x\to1^- ou x\to1^+, f(x)=\frac{1}{x-1} tende a -\infty ou +\infty, logo x=1 é assíntota vertical. Mas f(1) está definido e vale 0. Isso mostra que a afirmativa é falsa.]

Resposta

A afirmativa é falsa.

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