Utilize propriedades e as integrais das funções elementares para calcular
\int x^{3}-4 x^{2}+5 d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada (integração indefinida) de
x^{3} - 4x^{2} + 5
ou seja, vamos usar o conteúdo de integrais de funções elementares, em particular a linearidade da integral e a regra do polinômio:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1)

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos:
\int\bigl(x^{3} - 4x^{2} + 5\bigr)\,dx = \int x^{3}\,dx \;-\; 4\int x^{2}\,dx \;+\; \int 5\,dx

Passo 3

Agora aplicamos a regra do polinômio e a integral de constante:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4},\quad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\quad \int 5\,dx = 5x

Passo 4

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos:
\frac{x^{4}}{4} \;-\; 4\cdot\frac{x^{3}}{3} \;+\; 5x \;+\; C
que simplifica para
\frac{x^{4}}{4} - \frac{4x^{3}}{3} + 5x + C.

Resposta

\int\bigl(x^{3} - 4x^{2} + 5\bigr)\,dx = \frac{x^{4}}{4} - \frac{4x^{3}}{3} + 5x + C.

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