Utilize propriedades e as integrais das funções elementares para calcular
\int 2 x^{2}-4 x+e^{x} \mathrm{dx}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \bigl(2x^{2} - 4x + e^{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções elementares, usando a propriedade da linearidade (somar integrais) e as regras básicas: a regra do polinômio (regra da potência) e a regra da exponencial.

Passo 2

Aplicamos a linearidade da integral, separando soma e constantes:
\int \bigl(2x^{2} - 4x + e^{x}\bigr)\,dx = 2\int x^{2}\,dx \;-\; 4\int x\,dx \;+\; \int e^{x}\,dx.

Passo 3

Agora usamos as regras:
  • Para a potência, \int x^{n}\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + C. Portanto
    \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}
    e
    \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
  • Para a exponencial, \displaystyle \int e^{x}\,dx = e^{x} + C.

Passo 4

Multiplicando cada termo e somando:
2\int x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{2}{3}x^{3}, \qquad -4\int x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2} = -2x^{2},
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Somando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos
\frac{2}{3}x^{3} - 2x^{2} + e^{x} + C.

Resposta

\int \bigl(2x^{2} - 4x + e^{x}\bigr)\,dx = \frac{2}{3}x^{3} \;-\; 2x^{2} \;+\; e^{x} \;+\; C.

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