Determine quais das seguintes afirmativas são verdadeiras e quais são falsas, justificando a sua resposta.
Todo ponto do espaço pode ser tomado como origem de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas.
Todo ponto do espaço pode ser tomado como origem de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado pergunta se é possível, dado um ponto arbitrário
no espaço euclidiano
, definir um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais de modo que esse ponto
seja a origem. O conteúdo aqui envolve as noções de translação no espaço e de base ortonormal em
.
Passo 2
Primeiro observamos que o espaço euclidiano
é um espaço vetorial com produto interno. Dado um ponto
, podemos definir uma aplicação de translação
Essa translação leva
ao vetor nulo e preserva distâncias, ângulos e ortogonalidade.
Em seguida, como equipado com o produto interno padrão é isométrico a si mesmo após qualquer translação, basta escolher uma base ortonormal qualquer
em
. Essa base determina três direções mutuamente ortogonais e de comprimento unitário.
Em seguida, como
Passo 3
Definimos então o sistema de coordenadas em relação ao ponto
e à base
da seguinte forma: para um ponto qualquer
, suas coordenadas
são
Por construção,
tem coordenadas
, e os eixos são ortogonais e de escala unitária.
Passo 4
Como não houve restrição na escolha de
nem na escolha da base ortonormal, concluímos que qualquer ponto do espaço pode servir de origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.
Resposta
A afirmativa é verdadeira.