Determine quais das seguintes afirmativas são verdadeiras e quais são falsas, justificando a sua resposta.
Todo ponto do espaço pode ser tomado como origem de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível, dado um ponto arbitrário P no espaço euclidiano R^3, definir um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais de modo que esse ponto P seja a origem. O conteúdo aqui envolve as noções de translação no espaço e de base ortonormal em R^3.

Passo 2

Primeiro observamos que o espaço euclidiano R^3 é um espaço vetorial com produto interno. Dado um ponto PinR^3, podemos definir uma aplicação de translação
TP:R^3toR^3, TP(Q)=Q-P
Essa translação leva P ao vetor nulo e preserva distâncias, ângulos e ortogonalidade.
Em seguida, como R^3 equipado com o produto interno padrão é isométrico a si mesmo após qualquer translação, basta escolher uma base ortonormal qualquer e1,e2,e3 em R^3. Essa base determina três direções mutuamente ortogonais e de comprimento unitário.

Passo 3

Definimos então o sistema de coordenadas em relação ao ponto P e à base e1,e2,e3 da seguinte forma: para um ponto qualquer Q, suas coordenadas (x,y,z) são
x=(Q-P)cdot e1, y=(Q-P)cdot e2, z=(Q-P)cdot e3
Por construção, P tem coordenadas (0,0,0), e os eixos são ortogonais e de escala unitária.

Passo 4

Como não houve restrição na escolha de P nem na escolha da base ortonormal, concluímos que qualquer ponto do espaço pode servir de origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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