Determine quais das seguintes aplicações são lineares:
a)
& f: R^2 R^2 & (x, y) longmapsto f(x, y)=(x+y, x-y) ;
b)
& g: R^2 R & (x, y) longmapsto f(x, y)=x y
c)
& h: P2(R) P3(R) & a x^2+b x+c longmapsto a x^3+b x^2+c x ;
d)
& i: M2(R) R & A longmapsto det(A) ;

Passo 1

O enunciado pede que a gente verifique, para cada aplicação entre espaços vetoriais, se vale
  1. aditividade: ,T(u+v)=T(u)+T(v),
  2. homogeneidade: ,T(lambda u)=lambda,T(u).
    O conteúdo é teoria de transformações lineares.

Passo 2

Analisando
f:R^2toR^2, f(x,y)=(x+y,;x-y)
Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2),
f(u+v)=l((x1+x2)+(y1+y2),;(x1+x2)-(y1+y2)r) =(x1+y1,;x1-y1)+(x2+y2,;x2-y2) =f(u)+f(v)
E para lambdainR:
f(lambda u)=f(lambda x1,lambda y1) =(lambda x1+lambda y1,;lambda x1-lambda y1) =lambda(x1+y1,;x1-y1) =lambda f(u)
Logo f é linear.

Passo 3

Analisando
g:R^2toR, g(x,y)=x,y
Basta um contraexemplo à aditividade: seja u=(1,0) e v=(0,1). Então
g(u+v)=g(1,1)=1cdot1=1, g(u)+g(v)=1cdot0+0cdot1=0,
logo g(u+v)neq g(u)+g(v). Portanto g não é linear.

Passo 4

Analisando
h:P2(R)to P3(R), hl(a x^2+b x+cr)=a x^3+b x^2+c x
Sejam p(x)=a x^2+b x+c e q(x)=A x^2+B x+C. Então
hl(p+qr) =hl((a+A)x^2+(b+B)x+(c+C)r) =(a+A)x^3+(b+B)x^2+(c+C)x
;=,(a x^3+b x^2+c x)+(A x^3+B x^2+C x) =h(p)+h(q)
E para lambdainR:
hl(lambda pr) =hl(lambda a,x^2+lambda b,x+lambda cr) =lambda a,x^3+lambda b,x^2+lambda c,x =lambda,h(p)
Portanto h é linear.

Passo 5

Analisando
i:M2(R)toR, i(A)=det(A)
Basta mostrar que não preserva aditividade. Tome A=I (matriz identidade).
det(I+I)=det(2I)=2^2=4, det(I)+det(I)=1+1=2,
logo det(I+I)neqdet(I)+det(I). Assim i não é linear.

Resposta

As aplicações lineares são apenas f (item a) e h (item c).

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