Seja T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(x+2 y, y) uma transformação linear. Ache a matriz mudança de base de T da base canônica para a base beta=(1,1),(-1,1) de R^2.

Passo 1

O enunciado define TcolonR^2toR^2 por
T(x,y)=(x+2y,;y),
e pede a matriz de T com respeito à base canônica no domínio e à base beta=(1,1),,(-1,1) no contradomínio. Para isso precisamos (i) calcular T(e1) e T(e2) e (ii) expressá-los em coordenadas relativas a beta.

Passo 2

Calculamos as imagens dos vetores da base canônica e1=(1,0),e2=(0,1):
T(e1)=T(1,0)=(1+2cdot0,;0)=(1,0), T(e2)=T(0,1)=(0+2cdot1,;1)=(2,1)

Passo 3

Para escrever um vetor
Somando as equações dá :
– Para :

Passo 4

A matriz de T que vai da base canônica para beta tem colunas dadas pelas coordenadas de T(e1) e T(e2) em beta:
[T]betacan = alpha1 & alpha2 beta1 & beta2 = 12 & 32 -12 & -12

Resposta

[T]betacan = 12 & 32 -12 & -12

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