Seja T o operador linear sobre o R^3 definido por
T(x, y, z)=(2 x, x+y, 3 z)
Determinar a represetação matricial de T
a) em relação à base canônica beta=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
b) em relação à base gamma=(1,-1,0),(0,1,2),(1,0,1).
c) T é inversível? Se sim, justifique e encontre T^-1.

Passo 1

O enunciado fornece o operador linear Tcolon R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (2x,;x+y,;3z)
O que precisamos:
  1. Representação matricial de T na base canônica beta.
  2. Representação matricial de T na base gamma=(1,-1,0),(0,1,2),(1,0,1).
  3. Verificar se T é invertível (isto é, se a matriz tem determinante não nulo) e, em caso afirmativo, obter T^-1.
Os passos seguintes vão aplicar T aos vetores de cada base e expressar essas imagens nas respectivas bases.

Passo 2

Para a base canônica beta=e1,e2,e3 com e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1), calculamos:
T(e1)=T(1,0,0)=(2,1,0), T(e2)=T(0,1,0)=(0,1,0), T(e3)=T(0,0,1)=(0,0,3)
As colunas da matriz de T em relação a beta são essas imagens escritas nos coordenadas canônicas. Assim,
[T]beta = 2 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Passo 3

Na base gamma=v1,v2,v3 com
v1=(1,-1,0), v2=(0,1,2), v3=(1,0,1),
primeiro calculamos as imagens canônicas:
T(v1)=(2,0,0), T(v2)=(0,1,6), T(v3)=(2,1,3)
Em seguida, para cada T(vi) procuramos as coordenadas (alpha,beta,gamma) tais que
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3 = T(vi). Resolvendo os três sistemas obtemos:
  • Para T(v1): alphabetagamma=(-2,,-2,,4).
  • Para T(v2): alphabetagamma=(4,,5,,-4).
  • Para T(v3): alphabetagamma=(-1,,0,,3).
Logo a matriz de T em relação à base gamma tem colunas esses vetores:
[T]gamma = -2 & 4 & -1 -2 & 5 & 0 4 & -4 & 3

Passo 4

A matriz [T]beta é triangular superior com entradas diagonais 2,1,3, cujo determinante é
det[T]beta = 2cdot1cdot3 = 6 neq 0
Portanto T é invertível. Para achar T^-1, dado (u,v,w) resolvemos
(2x,;x+y,;3z) = (u,v,w)
Da primeira equação vem x = tfracu2. Da segunda, y = v - x = v - tfracu2. Da terceira, z = tfracw3. Logo
T^-1(u,v,w) = l(tfracu2,;v - tfracu2,;tfracw3r)

Resposta

a)
[T]beta = 2 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3
b)
[T]gamma = -2 & 4 & -1 -2 & 5 & 0 4 & -4 & 3
c)
T é inversível (pois det[T]beta=6neq0).
T^-1(u,v,w) = l(tfracu2,;v - tfracu2,;tfracw3r)

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