Determinar a represetação matricial de
a) em relação à base canônica .
b) em relação à base .
c) é inversível? Se sim, justifique e encontre .
Passo 1
O enunciado fornece o operador linear definido por
O que precisamos:
Representação matricial de na base canônica .
Representação matricial de na base .
Verificar se é invertível (isto é, se a matriz tem determinante não nulo) e, em caso afirmativo, obter .
Os passos seguintes vão aplicar aos vetores de cada base e expressar essas imagens nas respectivas bases.
Passo 2
Para a base canônica com , , , calculamos:
As colunas da matriz de em relação a são essas imagens escritas nos coordenadas canônicas. Assim,
Passo 3
Na base gamma=v1,v2,v3 com
v1=(1,-1,0), v2=(0,1,2), v3=(1,0,1),
primeiro calculamos as imagens canônicas:
T(v1)=(2,0,0), T(v2)=(0,1,6), T(v3)=(2,1,3)
Em seguida, para cada T(vi) procuramos as coordenadas (alpha,beta,gamma) tais que alpha,v1+beta,v2+gamma,v3 = T(vi). Resolvendo os três sistemas obtemos:
Para T(v1): alphabetagamma=(-2,,-2,,4).
Para T(v2): alphabetagamma=(4,,5,,-4).
Para T(v3): alphabetagamma=(-1,,0,,3).
Logo a matriz de T em relação à base gamma tem colunas esses vetores:
[T]gamma = -2 & 4 & -1 -2 & 5 & 0 4 & -4 & 3
Passo 4
A matriz [T]beta é triangular superior com entradas diagonais 2,1,3, cujo determinante é
det[T]beta = 2cdot1cdot3 = 6 neq 0
Portanto T é invertível. Para achar T^-1, dado (u,v,w) resolvemos
(2x,;x+y,;3z) = (u,v,w)
Da primeira equação vem x = tfracu2. Da segunda, y = v - x = v - tfracu2. Da terceira, z = tfracw3. Logo