Determine se as seguintes aplicações são p.i.s no espaço vetorial V.
V=C^2,lang<=(x1, y1),(x2, y2)rang<==2 x1 x2+5 y1 y2.

Passo 1

Queremos verificar se a aplicação
lang<= (x1,y1),(x2,y2)rang<= ;=;2,x1,x2 ;+;5,y1,y2
é de fato um produto interno (p.i.s.) em V=C^2.
Para isso, checaremos as três propriedades de um produto interno no contexto complexo:
  1. conjugado simetria;
  2. sesquilinearidade (linearidade no primeiro argumento e semilinearidade no segundo);
  3. positividade definida.

Passo 2

Conjugado simetria. Dados u=(x1,y1) e v=(x2,y2), temos
lang<= u,vrang<= ;=;2,x1,x2 +5,y1,y2,
enquanto
lang<= v,urang<= ;=;2,x2,x1 +5,y2,y1
Tomando o conjugado de lang<= v,urang<= obtemos
lang<= v,urang<= =2,x2,x1 +5,y2,y1 =2,x1,x2+5,y1,y2 =lang<= u,vrang<=,
logo a conjugado-simetria está satisfeita.

Passo 3

Sesquilinearidade.
  • Linearidade no primeiro argumento: para u,u',win V e alphainC,
lang<= u+u',wrang<= =2,(xu+xu')xw+5,(yu+yu')yw =lang<= u,wrang<=+lang<= u',wrang<=,
lang<= alpha,u,wrang<= =2,(alpha xu)xw+5,(alpha yu)yw =alpha;lang<= u,wrang<=
  • Conjugado-linearidade no segundo argumento: para alphainC,
lang<= u,alpha,vrang<= =2,xu,alpha,xv+5,yu,alpha,yv =alpha,l(2,xu,xv+5,yu,yvr) =alpha,lang<= u,vrang<=

Passo 4

Positividade definida. Para v=(x,y)in V,
lang<= v,vrang<= =2,x,x+5,y,y =2,|x|^2+5,|y|^2,>=0
E lang<= v,vrang<==0 implica 2|x|^2+5|y|^2=0, isto é x=0 e y=0, logo v=0.

Resposta

A aplicação dada satisfaz todas as propriedades de um produto interno em C^2. Portanto, é um p.i.s. em V.

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