Determine se as seguintes aplicações são p.i.s no espaço vetorial
.
.
Passo 1
Queremos verificar se a aplicação
é de fato um produto interno (p.i.s.) em
V=C^2 .
Para isso, checaremos as três propriedades de um produto interno no contexto complexo:
Para isso, checaremos as três propriedades de um produto interno no contexto complexo:
- conjugado simetria;
- sesquilinearidade (linearidade no primeiro argumento e semilinearidade no segundo);
- positividade definida.
Passo 2
Conjugado simetria. Dados
u=(x1,y1) e
v=(x2,y2) , temos
enquanto
Tomando o conjugado de
lang<= v,urang<= obtemos
logo a conjugado-simetria está satisfeita.
Passo 3
Sesquilinearidade.
- Linearidade no primeiro argumento: para
eu,u',win V ,alphainC
- Conjugado-linearidade no segundo argumento: para
,alphainC
Passo 4
Positividade definida. Para
v=(x,y)in V ,
E
lang<= v,vrang<==0 implica
2|x|^2+5|y|^2=0 , isto é
x=0 e
y=0 , logo
v=0 .
Resposta
A aplicação dada satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
C^2 . Portanto, é um p.i.s. em
V .