Determine se as seguintes aplicações são p.i.s no espaço vetorial
.
.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
com a aplicação
Queremos verificar se isto é um produto interno, ou seja, se satisfaz:
- bilinearidade,
- simetria,
- positividade definida.
Passo 2
Verificamos a bilinearidade. Como cada termo de
é produto de coordenadas de primeiro e segundo vetores, tem-se facilmente
Logo, é bilinear.
Passo 3
Verificamos a simetria. Dados
temos
Para serem iguais precisaríamos
para todo
, o que não ocorre em geral. Portanto, não é simétrica.
Passo 4
Verificamos positividade definida (só para confirmar apesar de já ter falhado a simetria):
O discriminante do quadrático em
é
logo
para todo
. Assim, é positiva definida.
Resposta
A aplicação não é produto interno, pois falha na propriedade de simetria.