Determine se as seguintes aplicações são p.i.s no espaço vetorial V.
V=R^2,lang<=(x1, y1),(x2, y2)rang<==3 x1 x2-2 x1 y2+y1 y2.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=R^2 com a aplicação
lang<=(x1,y1),(x2,y2)rang<= ;=;3x1x2 ;-;2x1y2;+;y1y2
Queremos verificar se isto é um produto interno, ou seja, se satisfaz:
  1. bilinearidade,
  2. simetria,
  3. positividade definida.

Passo 2

Verificamos a bilinearidade. Como cada termo de lang<=cdot,cdotrang<= é produto de coordenadas de primeiro e segundo vetores, tem-se facilmente
lang<= alpha u+beta u',,vrang<= =alphalang<= u,vrang<=+betalang<= u',vrang<=, lang<= u,,alpha v+beta v'rang<= =alphalang<= u,vrang<=+betalang<= u,v'rang<=
Logo, é bilinear.

Passo 3

Verificamos a simetria. Dados
u=(x1,y1), v=(x2,y2),
temos
lang<= u,vrang<= =3x1x2-2x1y2+y1y2,
lang<= v,urang<= =3x2x1-2x2y1+y2y1 =3x1x2-2x2y1+y1y2
Para serem iguais precisaríamos
-2x1y2=-2x2y1 para todo (x1,y1),(x2,y2), o que não ocorre em geral. Portanto, não é simétrica.

Passo 4

Verificamos positividade definida (só para confirmar apesar de já ter falhado a simetria):
lang<= (x,y),(x,y)rang<= =3x^2-2xy+y^2
O discriminante do quadrático em x/y é
(-2)^2-4cdot3cdot1=4-12=-8<0,
logo 3x^2-2xy+y^2>0 para todo (x,y)neq(0,0). Assim, é positiva definida.

Resposta

A aplicação não é produto interno, pois falha na propriedade de simetria.

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