Seja V um espaço vetorial complexo com produto interno e seja B=u1, ldots, uk subseteq V uma base de V. Mostre que dois vetores v, w in V verificam
v=w Leftrightarrowlang<= v, uirang<==lang<= w, uirang<=, forall ui in B

Passo 1

O enunciado diz que em um espaço vetorial complexo V com produto interno temos uma base B=u1,dots,uk de V. Queremos mostrar que dois vetores v,win V são iguais se, e somente se, seus produtos internos com cada vetor da base coincidem:
v=wLeftrightarrowlang<= v,uirang<==lang<= w,uirang<=forall i
O que vamos usar é a não-degeneração (positividade definida) do produto interno e o fato de que B gera todo o espaço.

Passo 2

(“ Rightarrow”) Se v=w, então para todo i claramente
lang<= v,uirang<==lang<= w,uirang<=,
pois estamos usando o mesmo vetor em ambos os lados do produto interno.

Passo 3

(“ Leftarrow”) Agora suponha que
lang<= v,uirang<==lang<= w,uirang<= para todo i
Então, definindo x=v-w, obtemos
lang<= x,uirang<= =lang<= v-w,uirang<= =lang<= v,uirang<=-lang<= w,uirang<= =0 forall i
Isto significa que x é ortogonal a cada vetor da base B.

Passo 4

Como B é base, qualquer vetor de V é combinação linear dos ui. Logo x é ortogonal a todo vetor de V, ou seja,
lang<= x,yrang<==0forall yin V
Em particular, tomando y=x, temos
lang<= x,xrang<==0
Pela positividade definida do produto interno, isso implica x=0. Portanto v-w=0, ou seja, v=w.

Resposta

Logo fica provado que
v=wLong<=ftrightarrowlang<= v,uirang<==lang<= w,uirang<=forall uiin B

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