Seja
um espaço vetorial complexo com produto interno e seja
uma base de
. Mostre que dois vetores
verificam
Passo 1
O enunciado diz que em um espaço vetorial complexo
com produto interno temos uma base
de
. Queremos mostrar que dois vetores
são iguais se, e somente se, seus produtos internos com cada vetor da base coincidem:
O que vamos usar é a não-degeneração (positividade definida) do produto interno e o fato de que
gera todo o espaço.
Passo 2
(“
”) Se
, então para todo
claramente
pois estamos usando o mesmo vetor em ambos os lados do produto interno.
Passo 3
(“
”) Agora suponha que
Então, definindo
, obtemos
Isto significa que
é ortogonal a cada vetor da base
.
Passo 4
Como
é base, qualquer vetor de
é combinação linear dos
. Logo
é ortogonal a todo vetor de
, ou seja,
Em particular, tomando
, temos
Pela positividade definida do produto interno, isso implica
. Portanto
, ou seja,
.
Resposta
Logo fica provado que