Sejam V=C^3 munido do produto interno usual. Calcule lang<=alpha u+beta v, wrang<=,lang<= u, alpha v+beta wrang<= elang<= v, vrang<=, para alpha=2+i, beta=-3, u=(i, 3+2 i, 1), v=(-1-i, 2+2 i, 4-i) e w=(-1+i, 1-4 i, 2-2 i).

Passo 1

O enunciado pede para calcular produtos internos no espaço C^3 com o produto interno usual, que adotamos como
lang<= x,yrang<= = sumk=1^3 xk,yk,
ou seja, linear na primeira componente e conjugado na segunda. Precisamos encontrar
lang<= alpha u+beta v,,wrang<=,
lang<= u,,alpha v+beta wrang<= e
lang<= v,,vrang<=
para
alpha=2+i, beta=-3,
u=(i,;3+2i,;1), v=(-1-i,;2+2i,;4-i), w=(-1+i,;1-4i,;2-2i)

Passo 2

Primeiro calculamos o vetor alpha u+beta v componente a componente:
(alpha u+beta v)1 &=(2+i),i +(-3),(-1-i) = (2i+i^2)+(3+3i) = -1+2i+3+3i =2+5i, (alpha u+beta v)2 &=(2+i),(3+2i)+(-3),(2+2i) =(4+7i)+(-6-6i) =-2+i, (alpha u+beta v)3 &=(2+i)cdot1+(-3),(4-i) =(2+i)+(-12+3i) =-10+4i
Logo
alpha u+beta v = l(2+5i,;-2+i,;-10+4ir)

Passo 3

Agora calculamos
lang<= alpha u+beta v,,wrang<= = sumk=1^3 (alpha u+beta v)k;wk
Temos overline w =(-1-i,;1+4i,;2+2i), então
lang<= alpha u+beta v,,wrang<= &=(2+5i)(-1-i)+(-2+i)(1+4i)+(-10+4i)(2+2i) &=(3-7i)+(-6-7i)+(-28-12i) &=-31-26i

Passo 4

Em seguida formamos alpha v+beta w:
(alpha v+beta w)1 &=(2+i)(-1-i)+(-3)(-1+i) =-1-3i+3-3i =2-6i, (alpha v+beta w)2 &=(2+i)(2+2i)+(-3)(1-4i) =2+6i-3+12i =-1+18i, (alpha v+beta w)3 &=(2+i)(4-i)+(-3)(2-2i) =9+2i-6+6i =3+8i
Assim
alpha v+beta w = l(2-6i,;-1+18i,;3+8ir)
O produto interno é
lang<= u,,alpha v+beta wrang<= = i,(2+6i)+(3+2i)(-1-18i)+1,(3-8i) = (-6+2i)+(33-56i)+(3-8i) =30-62i

Passo 5

Por fim,
lang<= v,vrang<= =|-1-i|^2+|2+2i|^2+|4-i|^2 =2+8+17 =27

Resposta

lang<= alpha u+beta v,,wrang<= = -31-26i
lang<= u,,alpha v+beta wrang<= = 30-62i
lang<= v,,vrang<= = 27

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