Determine se as seguintes aplicações sobre R^2 são formas bilineares ou não, caso afirmativo determine a representação na base canônica de R^2.
f((x1, x2),(y1, y2))=(x1+y2)^2-(x1-y2)^2

Passo 1

O enunciado define
fcolon R^2timesR^2toR, fl((x1,x2),(y1,y2)r) = (x1+y2)^2 - (x1-y2)^2
O conteúdo é verificar se f é bilinear e, em caso afirmativo, encontrar a matriz que a representa na base canônica de R^2.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão de f expandindo os quadrados:
(x1+y2)^2 = x1^2 + 2x1y2 + y2^2, (x1-y2)^2 = x1^2 - 2x1y2 + y2^2
Subtraindo, obtemos
fl((x1,x2),(y1,y2)r) = (x1+y2)^2 - (x1-y2)^2 = 4,x1,y2

Passo 3

Como
f(x,y)=4,x1,y2,
vemos que, para qualquer x,x'inR^2 e y,y'inR^2 e escalares alpha,beta, vale
f(alpha x + beta x',y) =4,(alpha x1+beta x1'),y2 =alpha,4x1y2 + beta,4x1'y2 =alpha f(x,y)+beta f(x',y),
e analogamente em relação ao segundo argumento. Logo f é bilinear.

Passo 4

Uma forma bilinear f em R^2 pode ser escrita como
f(x,y)=x^TA,y
onde A=(aij) satisfaz
x^T A y = sumi,jaij,xi,yj
Queremos x^T A y = 4,x1,y2. Isso implica que o único coeficiente não nulo é a12=4. Assim
A = 0 & 4 0 & 0

Resposta

f é uma forma bilinear e sua matriz na base canônica de R^2 é
0 & 4 0 & 0

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