Determine se as seguintes aplicações sobre
são formas bilineares ou não, caso afirmativo determine a representação na base canônica de
.
Passo 1
O enunciado define
O conteúdo é verificar se
é bilinear e, em caso afirmativo, encontrar a matriz que a representa na base canônica de
.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão de
expandindo os quadrados:
Subtraindo, obtemos
Passo 3
Como
vemos que, para qualquer
e
e escalares
, vale
e analogamente em relação ao segundo argumento. Logo
é bilinear.
Passo 4
Uma forma bilinear
em
pode ser escrita como
onde
satisfaz
Queremos
. Isso implica que o único coeficiente não nulo é
. Assim