Determine se as seguintes aplicações sobre R^2 são formas bilineares ou não, caso afirmativo determine a representação na base canônica de R^2.
f((x1, x2),(y1, y2))=(x1+x2)(y1-y2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
fcolon R^2timesR^2toR, fl((x1,x2),(y1,y2)r)=(x1+x2)(y1-y2)
é uma forma bilinear e, se for, achar sua matriz na base canônica de R^2. Para isso precisamos usar a definição de bilinearidade e depois escrever f como
f(x,y)=x^TA,y
para determinar a matriz A.

Passo 2

Mostramos que f é linear em cada argumento, mantendo o outro fixo. Dado y=(y1,y2) fixo, a função xmapsto f(x,y)=(x1+x2),(y1-y2) é a composição de xmapsto x1+x2 (linear) com multiplicação por (y1-y2) (constante), logo é linear em x. De modo análogo, fixando x, a função ymapsto (x1+x2),(y1-y2) é linear em y. Assim f satisfaz bilinearidade.

Passo 3

Expandimos o produto para identificar os termos xi,yj:
fl((x1,x2),(y1,y2)r) = x1y1 - x1y2 + x2y1 - x2y2
Isso mostra que
f(x,y)=sumi=1^2sumj=1^2 aij,xi,yj
onde os coeficientes aij são os números que acompanham xi yj.

Passo 4

Comparando com a expansão, obtemos
a11=1, a12=-1, a21=1, a22=-1
Portanto, na base canônica e1,e2 de R^2, a matriz de f é
A = 1 & -1 1 & -1

Resposta

A aplicação f é bilinear e sua matriz na base canônica é
1 & -1 1 & -1

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