Determine se as seguintes aplicações sobre são formas bilineares ou não, caso afirmativo determine a representação na base canônica de .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é uma forma bilinear e, se for, achar sua matriz na base canônica de . Para isso precisamos usar a definição de bilinearidade e depois escrever como
para determinar a matriz .
Passo 2
Mostramos que é linear em cada argumento, mantendo o outro fixo. Dado fixo, a função é a composição de (linear) com multiplicação por (constante), logo é linear em . De modo análogo, fixando , a função é linear em . Assim satisfaz bilinearidade.
Passo 3
Expandimos o produto para identificar os termos :
Isso mostra que
onde os coeficientes são os números que acompanham .
Passo 4
Comparando com a expansão, obtemos
Portanto, na base canônica de , a matriz de é
Resposta
A aplicação f é bilinear e sua matriz na base canônica é