Para as matrizes dadas realize a diagonalização ortogonal.
A=[ccc1 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar ortogonalmente a matriz
A = 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 1
Como A é simétrica, sabemos que ela admite diagonalização por uma matriz ortogonal P, isto é, existe P tal que
P^TAP = D
com D diagonal e as colunas de P formando uma base ortonormal de autovetores de A. Vamos achar primeiro os autovalores e depois os autovetores normalizados.

Passo 2

Determinamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = 1-lambda & -1 & 0 -1 & -lambda & 1 0 & 1 & 1-lambda
Fazendo a expansão pela primeira linha, obtemos
det(A - lambda I) =(1-lambda)l((-lambda)(1-lambda)-1r)-(-1)l(-1cdot(1-lambda)r)
Simplificando dá
(1-lambda)l(lambda^2 -lambda -1r)-(1-lambda) =(1-lambda)(lambda^2-lambda-2) =(1-lambda)(lambda-2)(lambda+1)
Logo, os autovalores são
lambda1 = 2, lambda2 = 1, lambda3 = -1

Passo 3

Para cada autovalor lambda, resolvemos (A - lambda I)x=0 e normalizamos o autovetor.
Para lambda=2:
A - 2I = -1 & -1 & 0 -1 & -2 & 1 0 & 1 & -1
Dessa forma o sistema impõe
;x1=-x2,;x3=x2
Um autovetor é (-1,1,1). Normalizando
|(-1,1,1)|=raiz3,
obtemos
u1 = 1raiz3(-1,,1,,1)
Para lambda=1:
A - I = 0 & -1 & 0 -1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 ,
que leva a x2=0 e x3=x1. Um autovetor é (1,0,1). Normalizando
|(1,0,1)|=raiz2,
temos
u2 = 1raiz2(1,,0,,1)
Para lambda=-1:
A + I = 2 & -1 & 0 -1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 ,
que dá x2=2x1,;x3=-x1. Um autovetor é (1,2,-1). Normalizando
|(1,2,-1)|=raiz6,
obtemos
u3 = 1raiz6(1,,2,,-1)
Esses vetores são mutuamente ortogonais e unitários.

Passo 4

Montamos a matriz ortogonal P cujas colunas são os autovetores unitários na ordem dos autovalores (2,1,-1):
P = -1raiz3 & 1raiz2 & 1raiz6[6pt] 1raiz3 & 0 & 2raiz6[6pt] 1raiz3 & 1raiz2 & -1raiz6 ,
e definimos
D = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1
Verifica-se que P^TAP = D e P^TP = I.]

Resposta

A diagonalização ortogonal de A é
P^TAP = D,
com
P = -1raiz3 & 1raiz2 & 1raiz6[6pt] 1raiz3 & 0 & 2raiz6[6pt] 1raiz3 & 1raiz2 & -1raiz6 , D = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1
]

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