Determine se as seguintes aplicações sobre
são formas bilineares ou não, caso afirmativo determine a representação na base canônica de
.
, para todo
.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
para todos
. Pede-se verificar se
é bilinear e, em caso afirmativo, encontrar sua matriz na base canônica de
.
Passo 2
Lembrando que
é bilinear se, para todo
e todo escalar
, valem as propriedades:
e de forma análoga em relação à segunda variável.
Passo 3
Verificamos a aditividade na primeira variável:
por definição, enquanto
Como
, a propriedade de aditividade falha.
Passo 4
Já que não se verifica a linearidade em pelo menos um dos argumentos,
não é bilinear. Consequentemente, não existe matriz que a represente como forma bilinear na base canônica.
Resposta
A aplicação
não é bilinear.