Determine se as seguintes aplicações sobre R^2 são formas bilineares ou não, caso afirmativo determine a representação na base canônica de R^2.
f(u, v)=1, para todo u, v in R^2.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
fcolon R^2 times R^2 to R, f(u,v)=1
para todos u,vinR^2. Pede-se verificar se f é bilinear e, em caso afirmativo, encontrar sua matriz na base canônica de R^2.

Passo 2

Lembrando que f é bilinear se, para todo u,u',v,v'inR^2 e todo escalar alpha, valem as propriedades:
f(u+u',v)=f(u,v)+f(u',v),
f(alpha u,v)=alpha,f(u,v),
e de forma análoga em relação à segunda variável.

Passo 3

Verificamos a aditividade na primeira variável:
f(u+u',v)=1
por definição, enquanto
f(u,v)+f(u',v)=1+1=2
Como 1neq2, a propriedade de aditividade falha.

Passo 4

Já que não se verifica a linearidade em pelo menos um dos argumentos, f não é bilinear. Consequentemente, não existe matriz que a represente como forma bilinear na base canônica.

Resposta

A aplicação f não é bilinear.

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