Para as matrizes dadas realize a diagonalização ortogonal.
A=[ll1 & 3 3 & 2]

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização ortogonal da matriz simétrica
A = 1 & 3 3 & 2
Conteúdo: diagonalização de matrizes reais simétricas. Vamos (i) calcular os autovalores de A, (ii) encontrar autovetores correspondentes, (iii) normalizar esses vetores para obter uma base ortonormal, e (iv) montar a matriz ortogonal P tal que P^T A P=D seja diagonal.

Passo 2

Determinamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) =det! 1-lambda & 3 3 & 2-lambda =(1-lambda)(2-lambda)-9 =lambda^2-3lambda-7
As raízes satisfazem
lambda^2-3lambda-7=0 Longrightarrow lambda=3pmraiz9+282 =3pmraiz372
Chamemos
lambda1=3+raiz372, lambda2=3-raiz372

Passo 3

Para lambda1, resolvemos (A-lambda1 I)v=0. Uma escolha simples de autovetor não normalizado é
v1= 3[6pt] 1+raiz372 ,
pois satisfaz
3,(2-lambda1)+(1+raiz37)=0
(equivalente à primeira linha de A-lambda1 I).]

Passo 4

Calculamos o comprimento de v1:
|v1|^2 =3^2+l(tfrac1+raiz372r)^2 =9+38+2raiz374 =74+2raiz374 =37+raiz372
Logo o vetor unitário é
u1 =v1|v1| =raiz237+raiz37 3[6pt] 1+raiz372 ]

Passo 5

De modo análogo, para lambda2 escolhemos
v2= 3[6pt] 1-raiz372 ,
cujo comprimento é
|v2|^2 =9+38-2raiz374 =37-raiz372
O autovetor unitário fica
u2 =raiz237-raiz37 3[6pt] 1-raiz372 ]

Passo 6

Por teorema espectral, u1 e u2 são ortonormais. Definimos a matriz ortogonal
P=l[,u1;;u2r]
Então
P^T A P = lambda1 & 0 0 & lambda2
é a forma diagonal desejada.

Resposta

P = raiz237+raiz37,3 & raiz237-raiz37,3 [8pt] raiz237+raiz37,tfrac1+raiz372 & raiz237-raiz37,tfrac1-raiz372
D = 3+raiz372 & 0 0 & 3-raiz372
e a diagonalização ortogonal é
A = P ,D,P^T
]

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