Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial.
(z^2 + 2xy, x^2 - z; 2xz - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que pede para descobrir se um campo vetorial dado é conservativo e, se for, encontrar a função potencial dele. Isso envolve entender um pouco sobre campos vetoriais e cálculo vetorial, especialmente o conceito de “curl” (roteiro). Vamos precisar calcular o “curl” do campo e ver se ele é igual a zero. Se for, o campo é conservativo e a gente pode achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que o campo é o gradiente dessa função. Em termos mais simples, podemos “recuperar” a função a partir do campo. Uma maneira de verificar se um campo é conservativo é calcular o “curl” (ou rotacional) dele. Se o curl for zero em todo o espaço, o campo é conservativo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o curl do campo vetorial dado. O campo é:
O curl de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:
Então, o curl de F é:

Passo 4

Observamos que o curl do campo vetorial não é zero, já que a primeira componente é 1. Para um campo ser conservativo, todas as componentes do curl devem ser zero em todo o domínio.

Resposta

Como o curl do campo vetorial não é zero, o campo não é conservativo.

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