Seja G o sólido no primeiro octante limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=4 es planos coordenados. Calcule
integral triplaG x y z d V
usando coordenadas esféricas.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sólido no primeiro octante (onde , e são positivos) delimitado pela esfera e pelos planos coordenados. Queremos calcular o integral triplo usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar das fórmulas das coordenadas esféricas e saber como expressar a função e os limites de integração nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, os pontos são descritos por três parâmetros: x = r sin phi cos theta, y = r sin phi sin theta, z = r cos phi (distância à origem), dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta (ângulo com o eixo ) e (ângulo no plano ). As relações para converter de coordenadas cartesianas para esféricas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos expressar a função x y z = (r sin phi cos theta)(r sin phi sin theta)(r cos phi) = r^3 sin^2 phi cos phi sin theta cos theta em coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de , e :

Passo 4

Em seguida, definimos os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, os ângulos 0 <= theta <= pi2, 0 <= phi <= pi2, 0 <= r <= 2 e variam de 0 a . Além disso, a esfera tem raio , então varia de 0 a 2. Portanto:

Passo 5

Agora, montamos o integral triplo em coordenadas esféricas:
integral triplaG x y z , dV = integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^2 r^3 sin^2 phi cos phi sin theta cos theta cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Simplificando os termos:
= integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^2 r^5 sin^3 phi cos phi sin theta cos theta , dr , dphi , dtheta

Passo 6

Observamos que as variáveis = ( integral0^2 r^5 , dr ) ( integral0^pi2 sin^3 phi cos phi , dphi ) ( integral0^pi2 sin theta cos theta , dtheta ) , e são separáveis, ou seja, podemos separar o integral em três integrais independentes:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro, para integral0^2 r^5 , dr = [ r^66 ]0^2 = 2^66 - 0 = 646 = 323 :
integral0^pi2 sin^3 phi cos phi , dphi
Segundo, para = integral0^1 u^3 , du = [ u^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14 :
integral0^pi2 sin theta cos theta , dtheta
Fazemos a substituição = integral0^1 v , dv = [ v^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12 , então :
Terceiro, para :
Fazemos a substituição , então :

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais:
integral triplaG x y z , dV = 323 times 14 times 12 = 3224 = 43

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