Seja
o sólido no primeiro octante limitado pela esfera
es planos coordenados. Calcule
usando coordenadas esféricas.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sólido
no primeiro octante (onde
,
e
são positivos) delimitado pela esfera
e pelos planos coordenados. Queremos calcular o integral triplo
usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar das fórmulas das coordenadas esféricas e saber como expressar a função e os limites de integração nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, os pontos são descritos por três parâmetros:
(distância à origem),
(ângulo com o eixo
) e
(ângulo no plano
). As relações para converter de coordenadas cartesianas para esféricas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos expressar a função
em coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de
,
e
:
Passo 4
Em seguida, definimos os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, os ângulos
e
variam de 0 a
. Além disso, a esfera
tem raio
, então
varia de 0 a 2. Portanto:
Passo 5
Agora, montamos o integral triplo em coordenadas esféricas:
Simplificando os termos:
Passo 6
Observamos que as variáveis
,
e
são separáveis, ou seja, podemos separar o integral em três integrais independentes:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Fazemos a substituição
, então
:
Terceiro, para
:
Fazemos a substituição
, então
:
Resposta
Multiplicando os resultados das integrais: