Encontre a soma da série: sumn=0^infty(-1)^n x^4 nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é encontrar a soma da série infinita:
sumn=0^infty(-1)^n x^4 nn!
Esse tipo de série está dentro do estudo de Séries Infinitas e Funções Exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam as séries de potências e a expansão da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série da função exponencial. A função e^y = sumn=0^infty y^nn! pode ser expandida em série como:
Isso significa que qualquer expoente na função exponencial pode ser representado por uma série infinita onde cada termo tem o elevado a e dividido por .

Passo 3

Agora, observando a série que queremos somar:
sumn=0^infty(-1)^n x^4 nn!
Perceba que sumn=0^infty (-x^4)^nn! é o mesmo que , e pode ser reescrito como . Assim, podemos reescrever a série da seguinte forma:
Isso fica muito parecido com a série do exponencial que vimos antes!

Passo 4

Comparando com a série do sumn=0^infty (-x^4)^nn! = e^-x^4 , onde , fica claro que:
Então, a soma da nossa série original é igual a .

Resposta

A soma da série é .

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