Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por
. O objetivo é determinar se esse campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotor (ou curl) de um campo vetorial e a integração para encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotor for igual a zero em todo o domínio considerado. Ou seja, precisamos calcular o rotor de
e ver se todas as componentes do rotor são zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotor de
. O rotor
é dado por:
Passo 4
Calculando cada componente:
-
Primeira componente:Então, a primeira componente do rotor é
. -
Segunda componente:Então, a segunda componente do rotor é
. -
Terceira componente:Então, a terceira componente do rotor é
.
Passo 5
Como todas as componentes do rotor são zero, temos que
. Portanto, o campo vetorial
é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
, ou seja:
Integraremos a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende de
e
.
Passo 7
Agora, vamos usar a segunda equação para determinar
. Sabemos que:
Então:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 8
Agora, usamos a terceira equação para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Integrando em relação a
:
onde
é uma constante de integração.
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Podemos ignorar a constante
para a função potencial, pois ela não afeta o gradiente.
Resposta
Sim, o campo vetorial é conservativo e uma função potencial para ele é: