Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial.
(z^2 + 2xy, x^2 + 1, 2xz - 3)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por (z^2 + 2xy, x^2 + 1, 2xz - 3). O objetivo é determinar se esse campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotor (ou curl) de um campo vetorial e a integração para encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotor for igual a zero em todo o domínio considerado. Ou seja, precisamos calcular o rotor de e ver se todas as componentes do rotor são zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotor de . O rotor nabla x F é dado por:

Passo 4

Calculando cada componente:
  1. Primeira componente:
    Então, a primeira componente do rotor é .
  2. Segunda componente:
    Então, a segunda componente do rotor é .
  3. Terceira componente:
    Então, a terceira componente do rotor é .

Passo 5

Como todas as componentes do rotor são zero, temos que . Portanto, o campo vetorial F é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial phi tal que , ou seja:
Integraremos a primeira equação em relação a x para encontrar phi:
Aqui, é uma função que depende de y e z.

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda equação para determinar . Sabemos que:
Então:
onde é uma função que depende apenas de z.

Passo 8

Agora, usamos a terceira equação para encontrar :
Sabemos que , então:
Integrando em relação a z:
onde C é uma constante de integração.

Passo 9

Substituindo na expressão de phi:
Podemos ignorar a constante C para a função potencial, pois ela não afeta o gradiente.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo e uma função potencial para ele é:

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