Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial.
(4x - z, 3y + z, y - x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente verificar se um campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar a sua função potencial. Isso envolve entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente conceitos como rotacional e integral de linha. Vamos precisar calcular o rotacional do campo e, se ele for zero, concluir que o campo é conservativo e então encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial F é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar , ou seja, F = ∇ . Uma maneira de verificar se um campo é conservativo é calculando o rotacional de F. Se o rotacional for zero em toda parte, então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo dado F = (4x - z, 3y + z, y - x). O rotacional de F, denotado por ∇×F, é calculado usando a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:
Portanto, o rotacional de F é (0, 0, 0).

Passo 4

Como o rotacional de F é zero, podemos concluir que o campo é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial tal que F = ∇ . Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .
Primeiro, integramos a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e .
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar :
Agora, substituímos na expressão de :
Finalmente, usamos a terceira equação para encontrar :
Onde é uma constante.

Resposta

O campo vetorial é conservativo, e uma função potencial para ele é:
Onde é uma constante arbitrária.

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