Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente verificar se um campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar a sua função potencial. Isso envolve entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente conceitos como rotacional e integral de linha. Vamos precisar calcular o rotacional do campo e, se ele for zero, concluir que o campo é conservativo e então encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial F é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
, ou seja, F = ∇
. Uma maneira de verificar se um campo é conservativo é calculando o rotacional de F. Se o rotacional for zero em toda parte, então o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional do campo dado F = (4x - z, 3y + z, y - x). O rotacional de F, denotado por ∇×F, é calculado usando a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto, o rotacional de F é (0, 0, 0).
Passo 4
Como o rotacional de F é zero, podemos concluir que o campo é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que F = ∇
. Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Primeiro, integramos a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e
.
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar
:
Agora, substituímos
na expressão de
:
Finalmente, usamos a terceira equação para encontrar
:
Onde
é uma constante.
Resposta
O campo vetorial é conservativo, e uma função potencial para ele é:
Onde
é uma constante arbitrária.