Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial.
(x - 2xy) i + (y^2 - x^2) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar a função potencial desse campo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que , onde é o gradiente de . Isso significa que:
Então, para saber se é conservativo, vamos verificar se as derivadas parciais misturadas são iguais, ou seja, se:
Onde e .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :
Como , as derivadas parciais são iguais. Portanto, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Para encontrar , integramos essa expressão em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos usar a componente do campo vetorial para encontrar . Sabemos que:
Derivando nossa expressão de em relação a :
Simplificando, temos:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Resposta

Então, a função potencial do campo vetorial é:
onde é uma constante.

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