Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar a função potencial desse campo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar
tal que
, onde
é o gradiente de
. Isso significa que:
Então, para saber se
é conservativo, vamos verificar se as derivadas parciais misturadas são iguais, ou seja, se:
Onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Como
, as derivadas parciais são iguais. Portanto, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Para encontrar
, integramos essa expressão em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a componente
do campo vetorial para encontrar
. Sabemos que:
Derivando nossa expressão de
em relação a
:
Simplificando, temos:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Então, a função potencial do campo vetorial é:
onde
é uma constante.