Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um campo vetorial dado por e precisamos determinar se esse campo é conservativo. Se for, também devemos encontrar a função potencial desse campo. Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função potencial
tal que
, ou seja,
e
. Além disso, para que o campo seja conservativo, as condições de igualdade das derivadas cruzadas devem ser satisfeitas:
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do campo vetorial:
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais necessárias para verificar se o campo é conservativo:
Como
, o campo �� conservativo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
onde
é uma função de
que aparece na constante de integração.
Passo 6
Para determinar
, usamos a segunda condição:
Derivando em relação a
:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
onde
é uma constante.
Resposta
O campo vetorial é conservativo e sua função potencial é: