Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial.
(y cos(x), -y + sen(x))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um campo vetorial dado por e precisamos determinar se esse campo é conservativo. Se for, também devemos encontrar a função potencial desse campo. Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que , ou seja, e . Além disso, para que o campo seja conservativo, as condições de igualdade das derivadas cruzadas devem ser satisfeitas: .

Passo 3

Vamos identificar as componentes do campo vetorial:

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais necessárias para verificar se o campo é conservativo:
Como , o campo �� conservativo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
onde é uma função de que aparece na constante de integração.

Passo 6

Para determinar , usamos a segunda condição:
Derivando em relação a :
Isso implica que:
Integrando em relação a :
onde é uma constante.

Resposta

O campo vetorial é conservativo e sua função potencial é:

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