Esboce o gráfico das funções a seguir.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função
. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente a função tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função tangente se comporta, como alterações na sua expressão afetam o gráfico, e identificar características como período, assíntotas e pontos-chave.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico básico da função
. A tangente possui assíntotas verticais onde o cosseno é zero, ou seja, nos pontos
, onde
é um inteiro. O período da função
é
, o que significa que o gráfico se repete a cada
unidades.
Passo 3
Agora, na nossa função
, temos um fator
dentro da tangente. Esse fator afeta o período da função. A fórmula para o período de
é
. Aqui,
, então o período será:
Isso significa que o gráfico de
se repete a cada
unidades.
Passo 4
Em seguida, vamos localizar as assíntotas verticais da função
. As assíntotas ocorrem onde o argumento da tangente é
:
Portanto, as assíntotas verticais estão em
, onde
é um inteiro. Isso significa que teremos assíntotas em
etc.
Passo 5
Agora, vamos identificar alguns pontos-chave para desenhar o gráfico. Sabemos que a tangente passa pela origem, então quando
, ou seja,
, temos:
Outro ponto importante ocorre quando
, então
:
E quando
, então
:
Passo 6
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico. Começamos traçando as assíntotas verticais em
etc. Entre duas assíntotas consecutivas, o gráfico da tangente começa do negativo infinito, passa pela origem no centro (como vimos em
), atinge 1 em
e tende ao positivo infinito novamente.
Resposta
O gráfico da função
possui período de
, com assíntotas verticais em
onde
é inteiro. Entre cada par de assíntotas, a curva da tangente passa pela origem, atinge valores positivos e negativos simétricos, formando padrões repetitivos a cada
unidades. Seguindo esses passos, você consegue esboçar o gráfico completo da função.