Esboce o gráfico das funções a seguir.
l(x) = tan(x/2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente a função tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função tangente se comporta, como alterações na sua expressão afetam o gráfico, e identificar características como período, assíntotas e pontos-chave.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico básico da função . A tangente possui assíntotas verticais onde o cosseno é zero, ou seja, nos pontos , onde é um inteiro. O período da função é , o que significa que o gráfico se repete a cada unidades.

Passo 3

Agora, na nossa função , temos um fator dentro da tangente. Esse fator afeta o período da função. A fórmula para o período de é . Aqui, , então o período será:
í
Isso significa que o gráfico de se repete a cada unidades.

Passo 4

Em seguida, vamos localizar as assíntotas verticais da função . As assíntotas ocorrem onde o argumento da tangente é :
Portanto, as assíntotas verticais estão em , onde é um inteiro. Isso significa que teremos assíntotas em etc.

Passo 5

Agora, vamos identificar alguns pontos-chave para desenhar o gráfico. Sabemos que a tangente passa pela origem, então quando , ou seja, , temos:
Outro ponto importante ocorre quando , então :
E quando , então :

Passo 6

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico. Começamos traçando as assíntotas verticais em etc. Entre duas assíntotas consecutivas, o gráfico da tangente começa do negativo infinito, passa pela origem no centro (como vimos em ), atinge 1 em e tende ao positivo infinito novamente.

Resposta

O gráfico da função possui período de , com assíntotas verticais em onde é inteiro. Entre cada par de assíntotas, a curva da tangente passa pela origem, atinge valores positivos e negativos simétricos, formando padrões repetitivos a cada unidades. Seguindo esses passos, você consegue esboçar o gráfico completo da função.

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