Encontre o campo gradiente das seguintes funções escalar.
f(x, y, z) = (x^2 * y) / (x^2 + z^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o campo gradiente da função escalar . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais.

Passo 2

O gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função e é dado pelas suas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis. Matematicamente, o gradiente é representado por:
Então, nosso objetivo é calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a :
Aqui, utilizamos a regra do quociente, que diz que se , então:

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, e são tratados como constantes, então:

Passo 6

Por fim, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Novamente, aplicamos a regra do quociente:
ãçã
Substituindo na fórmula:

Resposta

Assim, o campo gradiente de é:

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