Encontre o campo gradiente das seguintes funções escalar.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o campo gradiente da função escalar
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais.
Passo 2
O gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função e é dado pelas suas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis. Matematicamente, o gradiente é representado por:
Então, nosso objetivo é calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, utilizamos a regra do quociente, que diz que se
, então:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
e
são tratados como constantes, então:
Passo 6
Por fim, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Novamente, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo na fórmula:
Resposta
Assim, o campo gradiente de
é: