Resolva usando as coordenadas, que forem mais apropriadas, cilíndricas ou esféricas. Calcule o volume do sólido no primeiro octante limitado pela esfera
, os planos coordenados e os cones
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo de volume usando coordenadas que facilitem, pode ser cilíndricas ou esféricas. Aqui, vamos precisar entender coordenadas esféricas porque estamos lidando com uma esfera e cones. Nosso objetivo é encontrar o volume do sólido no primeiro octante limitado pela esfera de raio
, os planos coordenados e os cones com ângulos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo no plano
a partir do eixo
) e
(o ângulo a partir do eixo
). A equação da esfera é simples de expressar:
.
Passo 3
Como estamos no primeiro octante, os limites para
vão de
a
, porque
varia de
a
para cobrir todo o plano, mas no primeiro octante só precisamos de um quarto disso.
Passo 4
Os cones dados são
e
. Esses valores de
definem a região entre os dois cones dentro da esfera. Portanto, para o ângulo
, nosso limite inferior é
e o superior é
.
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
. Então, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 8
Por último, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.