Resolva usando as coordenadas, que forem mais apropriadas, cilíndricas ou esféricas. Calcule o volume do sólido no primeiro octante limitado pela esfera rho = 2, os planos coordenados e os cones phi = pi / 6 e phi = pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo de volume usando coordenadas que facilitem, pode ser cilíndricas ou esféricas. Aqui, vamos precisar entender coordenadas esféricas porque estamos lidando com uma esfera e cones. Nosso objetivo é encontrar o volume do sólido no primeiro octante limitado pela esfera de raio rho = 2, os planos coordenados e os cones com ângulos phi = pi / 6 e phi = pi / 3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros: rho (a distância do ponto à origem), theta (o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e phi (o ângulo a partir do eixo z). A equação da esfera é simples de expressar: rho = 2.

Passo 3

Como estamos no primeiro octante, os limites para theta vão de 0 a pi / 2, porque theta varia de 0 a para cobrir todo o plano, mas no primeiro octante só precisamos de um quarto disso.

Passo 4

Os cones dados são phi = pi / 6 e phi = pi / 3. Esses valores de phi definem a região entre os dois cones dentro da esfera. Portanto, para o ângulo phi, nosso limite inferior é pi/6 e o superior é pi / 3.

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é . Então, nossa integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, integramos em relação a rho:

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a phi:

Passo 8

Por último, integramos em relação a theta:

Passo 9

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados