(valor 3,0 pontos) Determine os extremos absolutos da função
, deffnida na regiano
Sugestão: Use o teorema de Weierstrass resolvendo os seguintes problemas:
Determinar os pontos criticos de
no interior da regíio
,
Resolver um problema de Lagrange na fronteira de
:
,
Calcular as imagens
, nos pontos críticos determinados em (
) e nos pontos determinados pelo M.M.L em (
),
Conclusảo: Verificar o(s) menor(es) eo(s)maior(es) valores de
, obtidos em (
).
Boa Sorte!
Boa Sorte!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar os extremos absolutos da função
dentro da região definida por
Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente sobre otimização de funções com restrições. Vamos usar o Teorema de Weierstrass, que nos garante que uma função contínua atinge seus extremos num conjunto compacto, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar os pontos críticos da função dentro do interior da região
. Isso significa resolver
, ou seja, encontrar onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são zero.
Calculando as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Então, o único ponto crítico no interior é
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a fronteira da região
, que é o círculo
. Para encontrar os extremos nessa fronteira, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Definimos a função auxiliar:
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Analisando as equações:
-
ou ou -
ou ou
Vamos considerar os casos:
-
Caso 1:
-
ou - Se
, então e , mas isso não está na fronteira ( ) - Se
, substituindo em com , temos
-
-
Caso 2:
-
- Substituindo em
com , temos
-
Então, os pontos na fronteira são
,
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores da função
nos pontos críticos que encontramos:
- Ponto interno:
- Pontos na fronteira:
-
Resposta
Os extremos absolutos da função são:
- Máximo absoluto:
nos pontos e - Mínimo absoluto:
nos pontos e