(valor 3,0 pontos) Determine os extremos absolutos da função
f(x, y)=-x^2+2 y^2+1
, deffnida na regiano
D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 9
Sugestão: Use o teorema de Weierstrass resolvendo os seguintes problemas:
(P1) Determinar os pontos criticos de f no interior da regíio D, Int(D)=(x, y) in R^2: x^2+y^2<9,
(P2) Resolver um problema de Lagrange na fronteira de D, partial D=(x, y) in R^2 : a^2+y^2=9,
(P3) Calcular as imagens f(x, y), nos pontos críticos determinados em ( P1 ) e nos pontos determinados pelo M.M.L em ( P2 ),
(P4) Conclusảo: Verificar o(s) menor(es) eo(s)maior(es) valores de f(x, y), obtidos em ( P3 ).
Boa Sorte!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar os extremos absolutos da função
f(x, y) = -x^2 + 2y^2 + 1
dentro da região definida por
D = (x, y) in R^2 : x^2 + y^2 <= 9
Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente sobre otimização de funções com restrições. Vamos usar o Teorema de Weierstrass, que nos garante que uma função contínua atinge seus extremos num conjunto compacto, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar os pontos críticos da função dentro do interior da região D . Isso significa resolver nabla f = 0, ou seja, encontrar onde as derivadas parciais de f em relação a x e y são zero.
Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = -2x
partial fpartial y = 4y
Igualando a zero:
-2x = 0 implies x = 0
4y = 0 implies y = 0
Então, o único ponto crítico no interior é (0, 0).

Passo 3

Agora, vamos olhar para a fronteira da região D , que é o círculo x^2 + y^2 = 9 . Para encontrar os extremos nessa fronteira, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Definimos a função auxiliar:
L(x, y, lambda) = -x^2 + 2y^2 + 1 + lambda (9 - x^2 - y^2)
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x = -2x - 2lambda x = 0 implies x(1 + lambda) = 0
partial Lpartial y = 4y - 2lambda y = 0 implies y(2 - lambda) = 0
partial Lpartial lambda = 9 - x^2 - y^2 = 0
Analisando as equações:
  1. x(1 + lambda) = 0 Rightarrow ou x = 0 ou lambda = -1
  2. y(2 - lambda) = 0 Rightarrow ou y = 0 ou lambda = 2
Vamos considerar os casos:
  • Caso 1: x = 0
    • y(2 - lambda) = 0 Rightarrow y = 0 ou lambda = 2
    • Se y = 0 , então x = 0 e y = 0 , mas isso não está na fronteira ( x^2 + y^2 = 0 neq 9 )
    • Se lambda = 2 , substituindo em 9 = x^2 + y^2 com x = 0 , temos y^2 = 9 Rightarrow y = pm 3
  • Caso 2: lambda = -1
    • y(2 - (-1)) = y(3) = 0 Rightarrow y = 0
    • Substituindo em 9 = x^2 + y^2 com y = 0 , temos x^2 = 9 Rightarrow x = pm 3
Então, os pontos na fronteira são (0, 3), (0, -3), (3, 0) e (-3, 0).

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores da função f(x, y) nos pontos críticos que encontramos:
  • Ponto interno: (0, 0)
f(0, 0) = -0^2 + 2 times 0^2 + 1 = 1
  • Pontos na fronteira:
    • f(0, 3) = -0^2 + 2 times 3^2 + 1 = 19
    • f(0, -3) = -0^2 + 2 times (-3)^2 + 1 = 19
    • f(3, 0) = -3^2 + 2 times 0^2 + 1 = -8
    • f(-3, 0) = -(-3)^2 + 2 times 0^2 + 1 = -8

Resposta

Os extremos absolutos da função são:
  • Máximo absoluto: f = 19 nos pontos (0, 3) e (0, -3)
  • Mínimo absoluto: f = -8 nos pontos (3, 0) e (-3, 0)

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