Determine se os seguintes campos vetoriais são gradientes de alguma função escalar. Se forem, encontre a função potencial f.
F=(2 x y, x^2+2 y).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y) = l(2xy,;x^2+2yr)
e pede para determinar se existe uma função escalar f tal que nabla f=F. Em um domínio simplesmente conectado, basta verificar se
partialpartial yl(2xyr) ;=; partialpartial xl(x^2+2yr)

Passo 2

Calculemos as derivadas mistas:
P(x,y)=2xy Rightarrow partial Ppartial y=2x,
Q(x,y)=x^2+2y Rightarrow partial Qpartial x=2x
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em todo R^2, o campo é conservativo e admite potencial.

Passo 3

Para achar o potencial f(x,y), integramos P em x:
f(x,y)=integral 2xy,dx = x^2y + h(y),
onde h é uma função a determinar que depende só de y.

Passo 4

Impondo partial f/partial y = Q, obtemos
partial fpartial y =partialpartial yl(x^2y + h(y)r) = x^2 + h'(y) stackrel!= x^2 + 2y
Logo h'(y)=2y e, integrando, h(y)=y^2 + C.

Resposta

A função potencial é
f(x,y)=x^2y + y^2 + C,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados