Determine se os seguintes campos vetoriais são gradientes de alguma função escalar. Se forem, encontre a função potencial
.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para determinar se existe uma função escalar
tal que
. Em um domínio simplesmente conectado, basta verificar se
Passo 2
Calculemos as derivadas mistas:
Como
em todo
, o campo é conservativo e admite potencial.
Passo 3
Para achar o potencial
, integramos
em
:
onde
é uma função a determinar que depende só de
.
Passo 4
Impondo
, obtemos
Logo
e, integrando,
.
Resposta
A função potencial é
onde
é constante arbitrária.