Resolva as equações abaixo encontrando um fator integrante.
e^x+(e^x cotg y+2 y cossec y) d yd x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
e^x + l(e^xcot y + 2ycsc yr),dydx = 0
Aqui queremos achar um fator integrante mu que torne a forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy=0
exata. Identificamos
M(x,y)=e^x, N(x,y)=e^xcot y + 2ycsc y

Passo 2

Verificamos se já é exata calculando
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=e^xcot y,
que não são iguais, logo não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa só de y. A condição é
partial N/partial x - partial M/partial yM =e^xcot y - 0e^x =cot y,
que é função apenas de y. Assim
mu(y)=expl(integral cot y,dyr) =expl(ln|sin y|r) =sin y

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y)=sin y, obtendo
e^xsin y,dx + l(e^xsin ycot y + 2ysin ycsc yr),dy =0 ;Longrightarrow; e^xsin y,dx + l(e^xcos y + 2yr),dy=0
Agora
M^*=e^xsin y, N^*=e^xcos y+2y,
e
partial M^*partial y =e^xcos y, partial N^*partial x =e^xcos y,
logo é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M^*=e^xsin y
Integrando em x:
psi(x,y)=integral e^xsin y,dx =e^xsin y + h(y)
Em seguida impomos
partial psipartial y =e^xcos y + h'(y) stackrel!=N^*=e^xcos y + 2y,
o que dá h'(y)=2y e portanto h(y)=y^2.

Passo 6

A solução implícita é
psi(x,y)=e^xsin y + y^2 = C,
com C constante.

Resposta

e^xsin y + y^2 = C

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