Determine se os seguintes campos vetoriais são gradientes de alguma função escalar. Se forem, encontre a função potencial f.
F=(y e^x y, x e^x y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),Q(x,y)r) = l(y,e^xy,,x,e^xyr)
é conservativo (isto é, se é gradiente de alguma função escalar f) e, em caso afirmativo, determinar a potencial f(x,y). Vamos usar o critério partial P/partial y = partial Q/partial x num domínio simplesmente conexo ( R^2 aqui serve).

Passo 2

Identificamos
P(x,y) = y,e^xy, Q(x,y) = x,e^xy
Calculamos as derivadas parciais mistas:
partial Ppartial y = e^xy + xy,e^xy = e^xyl(1 + xyr),
partial Qpartial x = e^xy + xy,e^xy = e^xyl(1 + xyr)

Passo 3

Como
partial Ppartial y = partial Qpartial x,
o campo é conservativo em R^2. Logo existe uma função potencial f(x,y) tal que
nabla f = F,
ou seja,
partial fpartial x = y,e^xy, partial fpartial y = x,e^xy

Passo 4

Integramos partial f/partial x = y,e^xy em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y) = integral y,e^xy,dx = y integral e^xy,dx = y cdot 1ye^xy + h(y) = e^xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 5

Para determinar h(y), comparamos com partial f/partial y. Temos
partial fpartial y = partialpartial yl(e^xy + h(y)r) = x,e^xy + h'(y)
Como deve valer partial f/partial y = Q = x,e^xy, segue h'(y)=0. Portanto h(y) é constante.

Resposta

A função potencial (à menos de uma constante irrelevante) é
f(x,y) = e^xy

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