Determine se os seguintes campos vetoriais são gradientes de alguma função escalar. Se forem, encontre a função potencial
.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo (isto é, se é gradiente de alguma função escalar ) e, em caso afirmativo, determinar a potencial
. Vamos usar o critério
num domínio simplesmente conexo (
aqui serve).
é conservativo (isto é, se é gradiente de alguma função escalar
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais mistas:
Passo 3
Como
o campo é conservativo em
. Logo existe uma função potencial
tal que
ou seja,
Passo 4
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 5
Para determinar
, comparamos com
. Temos
Como deve valer
, segue
. Portanto
é constante.
Resposta
A função potencial (à menos de uma constante irrelevante) é