Determine a solução geral das edos Exatas:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Este é um problema de equação exata. Para resolver, vamos:
- escrever a equação na forma
, - verificar a condição de exatidão
, - encontrar a função potencial
tal que e , - impor
como solução implícita.
Passo 2
Reescrevendo a equação em forma diferencial:
Invertendo o sinal para ficar no formato
, obtemos
Logo,
Passo 3
Verificamos a condição de exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
,
onde
é uma função a determinar. Para encontrá-la, derivamos
em relação a
:
e impomos
. Assim,
Portanto,
Passo 5
A solução geral vem de
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
ou, resolvendo para
,