Determine a solução geral das edos Exatas:
(y^3-x) y^prime=y.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
l(y^3-xr),y' = y
Este é um problema de equação exata. Para resolver, vamos:
  1. escrever a equação na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0,
  2. verificar a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x,
  3. encontrar a função potencial psi(x,y) tal que psix=M e psiy=N,
  4. impor psi(x,y)=C como solução implícita.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma diferencial:
(y^3-x),dydx = y Longrightarrow (y^3-x),dy - y,dx = 0
Invertendo o sinal para ficar no formato M,dx+N,dy=0, obtemos
y,dx + l(x - y^3r),dy = 0
Logo,
M(x,y) = y, N(x,y) = x - y^3

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão:
partial Mpartial y = partialpartial y(y) = 1, partial Npartial x = partialpartial x(x - y^3) = 1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
psix = M = y, psiy = N = x - y^3
Integrando psix=y em relação a x,
psi(x,y) = integral y,dx = xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Para encontrá-la, derivamos psi em relação a y:
psiy = x + h'(y)
e impomos psiy = x - y^3. Assim,
x + h'(y) = x - y^3 Longrightarrow h'(y) = -,y^3 Longrightarrow h(y) = -y^44
Portanto,
psi(x,y) = xy - y^44

Passo 5

A solução geral vem de
psi(x,y) = C Longrightarrow xy - y^44 = C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
xy - tfracy^44 = C,
ou, resolvendo para x,
x = y^34 + Cy

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