Determine se os seguintes campos vetoriais são gradientes de alguma função escalar. Se forem, encontre a função potencial f.
F=(-y, x).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=(-y,,x)
definido em todo o plano R^2. Queremos saber se existe uma função escalar f(x,y) tal que
nabla f = F,
isto é, se F é um campo conservativo (gradiente de alguma função potencial). Em domínios simplesmente conectados em R^2, uma condição necessária e suficiente é
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x,
onde P(x,y)=-y e Q(x,y)=x.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais envolvidas:
partial Ppartial y =partialpartial y(-y)=-1,
partial Qpartial x =partialpartial x(x)=1
Como vemos,
partial Ppartial y = -1 e partial Qpartial x = 1,
logo não são iguais.

Passo 3

Como em todo ponto do domínio simplesmente conectado essas duas derivadas parciais não coincidem, a condição de integrabilidade falha. Portanto F não é conservativo e não admite função potencial.

Resposta

O campo F(x,y)=(-y,,x) não é gradiente de nenhuma função escalar.

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