Determine se os seguintes campos vetoriais são gradientes de alguma função escalar. Se forem, encontre a função potencial
.
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
definido em todo o plano . Queremos saber se existe uma função escalar
tal que
definido em todo o plano
isto é, se
é um campo conservativo (gradiente de alguma função potencial). Em domínios simplesmente conectados em
, uma condição necessária e suficiente é
onde
e
.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais envolvidas:
Como vemos,
logo não são iguais.
Passo 3
Como em todo ponto do domínio simplesmente conectado essas duas derivadas parciais não coincidem, a condição de integrabilidade falha. Portanto
não é conservativo e não admite função potencial.
Resposta
O campo
não é gradiente de nenhuma função escalar.