Resolva as equações abaixo encontrando um fator integrante.
cos ^2 y sen x+sen y cos x d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
cos^2 y,sin x ;+;sin y,cos x;dydx=0
procurando um fator integrante que torne a forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy=0
exata. Aqui
M(x,y)=cos^2 y,sin x, N(x,y)=sin y,cos x

Passo 2

Verificamos a exatidão original comparando
partial Mpartial y e partial Npartial x
Calculamos
partial Mpartial y =2cos y(-sin y),sin x =-2cos ysin y,sin x,
partial Npartial x =sin y,(-sin x) =-sin y,sin x,
logo partial M/partial yneqpartial N/partial x, não é exata.

Passo 3

Testamos se existe fator integrante mu que dependa só de y. Basta checar
partial Npartial x-partial Mpartial yM ;depende apenas de (y)
De fato,
partial N/partial x-partial M/partial yM =-sin ysin x-(-2cos ysin ysin x)cos^2 y,sin x =sin ysin x,(2cos y-1)cos^2 y,sin x =2cos y-1cos^2 y,sin y =(2cos y-1),sin ycos^2 y,
que é função só de y. Portanto existe mu(y).

Passo 4

O fator integrante mu(y) satisfaz
dlnmudy =partial N/partial x-partial M/partial yM =(2cos y-1),sin ycos^2 y
Integramos:
lnmu =integrall(2tan y-tan ysec yr)dy =-2ln!l|cos yr|-sec y +const
Logo, desprezando constante multiplicativa,
mu(y) =expl(-2lncos y-sec yr) =e^-sec ycos^2 y =sec^2 y,e^-sec y

Passo 5

Multiplicamos a equação original por mu(y). Ficamos com
M^*(x,y),dx+N^*(x,y),dy=0,
onde
M^*=mu,M =sec^2 y,e^-sec y,cos^2 y,sin x =sin x,e^-sec y,
N^*=mu,N =sec^2 y,e^-sec y,sin y,cos x =sin y,cos x,e^-sec ycos^2 y =cos x,e^-sec y,sec ytan y
Agora é exata, pois
partial M^*/partial y=partial N^*/partial x.
Para achar a função potencial Psi(x,y) tal que
partialPsi/partial x=M^*, integramos em x:
Psi(x,y) =integral sin x,e^-sec y,dx =-cos x,e^-sec y+h(y)
Em seguida impomos partialPsi/partial y=N^*:
partialpartial yl[-cos x,e^-sec y+h(y)r] =cos x,e^-sec y,sec ytan y + h'(y) overset!=cos x,e^-sec y,sec ytan y,
daí h'(y)=0 e h(y) é constante.

Resposta

O fator integrante é
mu(y)=sec^2 y,e^-sec y,
e a solução geral (implícita) fica
-cos x,e^-sec y=C Long<=ftrightarrow cos x,e^-sec y=C',
ou ainda
e^sec y,cos x=constante

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