Resolva as equações abaixo encontrando um fator integrante.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
procurando um fator integrante que torne a forma
exata. Aqui
Passo 2
Verificamos a exatidão original comparando
Calculamos
logo , não é exata.
Passo 3
Testamos se existe fator integrante que dependa só de . Basta checar
De fato,
que é função só de . Portanto existe .
Passo 4
O fator integrante satisfaz
Integramos:
Logo, desprezando constante multiplicativa,
mu(y) =expl(-2lncos y-sec yr) =e^-sec ycos^2 y =sec^2 y,e^-sec y
Passo 5
Multiplicamos a equação original por mu(y). Ficamos com
M^*(x,y),dx+N^*(x,y),dy=0,
onde
M^*=mu,M =sec^2 y,e^-sec y,cos^2 y,sin x =sin x,e^-sec y,
N^*=mu,N =sec^2 y,e^-sec y,sin y,cos x =sin y,cos x,e^-sec ycos^2 y =cos x,e^-sec y,sec ytan y
Agora é exata, pois partial M^*/partial y=partial N^*/partial x.
Para achar a função potencial Psi(x,y) tal que partialPsi/partial x=M^*, integramos em x:
Psi(x,y) =integral sin x,e^-sec y,dx =-cos x,e^-sec y+h(y)
Em seguida impomos partialPsi/partial y=N^*:
partialpartial yl[-cos x,e^-sec y+h(y)r] =cos x,e^-sec y,sec ytan y + h'(y) overset!=cos x,e^-sec y,sec ytan y,
daí h'(y)=0 e h(y) é constante.
Resposta
O fator integrante é
mu(y)=sec^2 y,e^-sec y,
e a solução geral (implícita) fica
-cos x,e^-sec y=C Long<=ftrightarrow cos x,e^-sec y=C',