Resolva as equações abaixo encontrando um fator integrante.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
Podemos reescrevê-la como uma forma diferencial exata potencialmente não exata:
onde definimos
O conteúdo aqui é determinar um fator integrante
que torne a equação exata.
Passo 2
Verificamos se a forma é exata, calculando
como
, não é exata. Mas podemos tentar um fator integrante que dependa só de
. Usamos o teste
que de fato depende apenas de
. Logo
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. Assim
Agora verifica-se exatidão:
portanto a forma
é exata.
Passo 4
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar. Diferenciando em relação a
:
deve coincidir com
. Logo
e
é constante.
Passo 5
A condição
fornece a solução implícita da equação original: