Resolva as equações abaixo encontrando um fator integrante.
-(x^2+y^2)+x y d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
-l(x^2+y^2r)+x,y,dydx=0
Podemos reescrevê-la como uma forma diferencial exata potencialmente não exata:
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
onde definimos
M(x,y) = -l(x^2+y^2r), N(x,y) = x,y
O conteúdo aqui é determinar um fator integrante mu que torne a equação exata.

Passo 2

Verificamos se a forma é exata, calculando
partial Mpartial y = -2y, partial Npartial x = y,
como partial M/partial y neq partial N/partial x, não é exata. Mas podemos tentar um fator integrante que dependa só de x. Usamos o teste
partial Mpartial y - partial Npartial xN = -2y - yx,y = -3x,
que de fato depende apenas de x. Logo
mu(x) = exp!l(integral -tfrac3x,dxr) = expl(-3ln|x|r) = x^-3

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-3. Assim
widetilde M(x,y) = x^-3l[-(x^2+y^2)r] = -x^-1-y^2x^-3, widetilde N(x,y) = x^-3,(x,y) = y,x^-2
Agora verifica-se exatidão:
partial widetilde Mpartial y = -2y,x^-3, partial widetilde Npartial x = -2y,x^-3,
portanto a forma widetilde M,dx+widetilde N,dy=0 é exata.

Passo 4

Buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = widetilde M, partial phipartial y = widetilde N
Integramos widetilde M em relação a x:
phi(x,y) = integrall[-x^-1-y^2x^-3r]dx = -ln|x| + y^22x^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Diferenciando em relação a y:
partial phipartial y = 2y2x^2 + h'(y) = yx^2 + h'(y)
deve coincidir com widetilde N = y,x^-2. Logo h'(y)=0 e h é constante.

Passo 5

A condição phi(x,y)=C fornece a solução implícita da equação original:
-ln|x| + y^22x^2 = C

Resposta

-ln|x| + dfracy^22x^2 = C, com C constante de integração.

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