Seja
um grupo. Mostre que:
Se
para quaisquer
, então
é abeliano.
Se
Passo 1
O enunciado define um grupo
e dá a condição
para todos
.
Queremos mostrar que , isto é, que
é abeliano. Para isso vamos usar a propriedade geral de inversos em grupos e manipulações algébricas.
Queremos mostrar que
Passo 2
Em qualquer grupo vale a identidade
Pela hipótese do enunciado temos também
Igualando as duas expressões para
, obtemos
Passo 3
Tomamos inverso em ambos os lados da igualdade
. Como em grupos vale
, segue
Passo 4
Aplicando a regra do inverso de um produto, temos
Logo a igualdade do passo anterior vira
Isto mostra que quaisquer
comutam.