Seja (G,) um grupo. Mostre que:
Se (a b)^-1=a^-1 b^-1 para quaisquer a, b in G, então G é abeliano.

Passo 1

O enunciado define um grupo (G,cdot) e dá a condição
(ab)^-1=a^-1b^-1
para todos a,bin G.
Queremos mostrar que ab=ba, isto é, que G é abeliano. Para isso vamos usar a propriedade geral de inversos em grupos e manipulações algébricas.

Passo 2

Em qualquer grupo vale a identidade
(ab)^-1=b^-1a^-1
Pela hipótese do enunciado temos também
(ab)^-1=a^-1b^-1
Igualando as duas expressões para (ab)^-1, obtemos
b^-1a^-1=a^-1b^-1

Passo 3

Tomamos inverso em ambos os lados da igualdade b^-1a^-1=a^-1b^-1. Como em grupos vale (xy)^-1=y^-1x^-1, segue
l(b^-1a^-1r)^-1 ;=;l(a^-1b^-1r)^-1

Passo 4

Aplicando a regra do inverso de um produto, temos
l(b^-1a^-1r)^-1=a,b, l(a^-1b^-1r)^-1=b,a
Logo a igualdade do passo anterior vira
a,b = b,a
Isto mostra que quaisquer a,bin G comutam.

Resposta

G é abeliano.

Exercícios relacionados