Se
é um grupo de ordem 3 com a operação binária ., construa a(s) tabela(s) que define(m) … Quantas tabelas são possíveis?
é necessariamente abeliano? Dê um exemplo de grupo de ordem 3.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo de ordem 3 com operação binária “
”. O conteúdo aqui é a classificação dos grupos de ordem 3: todo grupo de ordem 3 é cíclico e, portanto, determinado por um gerador de ordem 3. Vamos usar os axiomas de grupo (elemento neutro, inversos, fechamento e associatividade) para montar a tabela de Cayley.
Passo 2
Como
é o elemento neutro, em qualquer tabela de grupo deve valer
para todo
. Logo, na linha e coluna de
já temos:
Passo 3
Se
, então a ordem de
divide 3 (Teorema de Lagrange) e não pode ser 1, logo é 3. Isso força
pois não pode ser nem
(senão
teria ordem 2) nem
. Analogamente,
Inserindo na tabela:
Passo 4
Para fechar a tabela, faltam
e
. Mas como
,
e
Com isso a tabela fica completa:
Passo 5
Essa tabela corresponde a escolher
como gerador. Se em vez disso trocarmos o nome dos dois não-neutros (ou seja, tratarmos
como gerador e
), obtemos outra tabela isomorfa à anterior, mas com os símbolos permutados. Assim, sobre o conjunto fixo
há exatamente 2 tabelas possíveis, que diferem pela escolha de qual elemento não-neutro é o gerador.
Passo 6
Como a única estrutura é a cíclica de ordem 3, todo grupo de ordem 3 é abeliano.
Um exemplo concreto é o grupo
com adição módulo 3. A tabela de soma é
Resposta
– As duas tabelas de Cayley possíveis são, até permutar
,
– Número de tabelas possíveis: 2.
– é necessariamente abeliano.
– Exemplo de grupo de ordem 3: .
–
– Exemplo de grupo de ordem 3: