Se G=e, a, b é um grupo de ordem 3 com a operação binária ., construa a(s) tabela(s) que define(m) … Quantas tabelas são possíveis? G é necessariamente abeliano? Dê um exemplo de grupo de ordem 3.

Passo 1

O enunciado diz que G= e,a,b é um grupo de ordem 3 com operação binária “ cdot”. O conteúdo aqui é a classificação dos grupos de ordem 3: todo grupo de ordem 3 é cíclico e, portanto, determinado por um gerador de ordem 3. Vamos usar os axiomas de grupo (elemento neutro, inversos, fechamento e associatividade) para montar a tabela de Cayley.

Passo 2

Como e é o elemento neutro, em qualquer tabela de grupo deve valer
ecdot x = x e xcdot e = x
para todo xin e,a,b. Logo, na linha e coluna de e já temos:
c|ccc cdot & e & a & bhline e & e & a & b a & a & & b & b & &

Passo 3

Se ane e, então a ordem de a divide 3 (Teorema de Lagrange) e não pode ser 1, logo é 3. Isso força
a^2 = acdot a = b,
pois não pode ser nem e (senão a teria ordem 2) nem a. Analogamente,
b^2 = bcdot b = a
Inserindo na tabela:
c|ccc cdot & e & a & bhline e & e & a & b a & a & b & b & b & & a

Passo 4

Para fechar a tabela, faltam acdot b e bcdot a. Mas como b = a^2,
acdot b = acdot(a^2) = a^3 = e,
e
bcdot a = (a^2)cdot a = a^3 = e
Com isso a tabela fica completa:
c|ccc cdot & e & a & bhline e & e & a & b a & a & b & e b & b & e & a

Passo 5

Essa tabela corresponde a escolher a como gerador. Se em vez disso trocarmos o nome dos dois não-neutros (ou seja, tratarmos b como gerador e a=b^2), obtemos outra tabela isomorfa à anterior, mas com os símbolos permutados. Assim, sobre o conjunto fixo e,a,b há exatamente 2 tabelas possíveis, que diferem pela escolha de qual elemento não-neutro é o gerador.

Passo 6

Como a única estrutura é a cíclica de ordem 3, todo grupo de ordem 3 é abeliano.
Um exemplo concreto é o grupo Z3 =0,1,2 com adição módulo 3. A tabela de soma é
c|ccc + & 0 & 1 & 2hline 0 & 0 & 1 & 2 1 & 1 & 2 & 0 2 & 2 & 0 & 1

Resposta

– As duas tabelas de Cayley possíveis são, até permutar arightarrow b,
c|ccc cdot & e & a & bhline e & e & a & b a & a & b & e b & b & e & a e c|ccc cdot & e & b & ahline e & e & b & a b & b & a & e a & a & e & b
– Número de tabelas possíveis: 2.
G é necessariamente abeliano.
– Exemplo de grupo de ordem 3: l( Z3,+r).

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