Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de E. Justifique sua resposta.
W=(x, y, z) in R^3: x+y=z onde E=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente verificar se um certo conjunto W, que está dentro do espaço tridimensional E = R^3, é um subespaço. O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos lembrar quais são os critérios que um conjunto deve atender para ser considerado um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é W. O conjunto é definido como W = (x, y, z) in R^3: x + y = z. Isso significa que, para qualquer vetor (x, y, z) em W, a soma das duas primeiras coordenadas ( x e y) deve ser igual à terceira coordenada ( z).

Passo 3

O primeiro critério para ser subespaço é conter o vetor zero. Vamos verificar se o vetor zero está em W. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Substituindo na condição de W:
0 + 0 = 0 (Verdadeiro)
Então, o vetor zero está em W.

Passo 4

O segundo critério é a propriedade de fechamento sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em W e somarmos, o resultado também deve estar em W. Vamos considerar dois vetores arbitrários u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em W. Então, temos:
x1 + y1 = z1 e x2 + y2 = z2
Somando os dois vetores:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Vamos verificar se a soma também satisfaz a condição de W:
(x1 + x2) + (y1 + y2) = z1 + z2
Simplificando o lado esquerdo:
(x1 + y1) + (x2 + y2) = z1 + z2
Sabemos que x1 + y1 = z1 e x2 + y2 = z2, então:
z1 + z2 = z1 + z2 (Verdadeiro)
Portanto, u + v está em W.

Passo 5

O terceiro critério é a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor em W e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em W. Vamos considerar um vetor arbitrário u = (x, y, z) em W e um escalar k in R. Então:
ku = (kx, ky, kz)
Vamos verificar se kx + ky = kz:
kx + ky = k(x + y) = k z
Pelo fato de que x + y = z, substituímos:
k z = k z (Verdadeiro)
Assim, ku também está em W.

Resposta

Sim, o conjunto W é um subespaço de R^3 porque satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

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