Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
. Justifique sua resposta.
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente verificar se um certo conjunto
, que está dentro do espaço tridimensional
, é um subespaço. O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos lembrar quais são os critérios que um conjunto deve atender para ser considerado um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. O conjunto é definido como
. Isso significa que, para qualquer vetor
em
, a soma das duas primeiras coordenadas (
e
) deve ser igual à terceira coordenada (
).
Passo 3
O primeiro critério para ser subespaço é conter o vetor zero. Vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
O segundo critério é a propriedade de fechamento sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
e somarmos, o resultado também deve estar em
. Vamos considerar dois vetores arbitrários
e
em
. Então, temos:
Somando os dois vetores:
Vamos verificar se a soma também satisfaz a condição de
:
Simplificando o lado esquerdo:
Sabemos que
e
, então:
Portanto,
está em
.
Passo 5
O terceiro critério é a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em
. Vamos considerar um vetor arbitrário
em
e um escalar
. Então:
Vamos verificar se
:
Pelo fato de que
, substituímos:
Assim,
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
porque satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.