Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
(c) W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M(2,2, \mathbb{R}) \right\rvert\, b=c-a\right\},

Passo 1

O enunciado define
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\[6pt] c & d\end{pmatrix}\in M(2,2,\mathbb{R}) \;\middle|\; b = c - a\right\}
e pede para decidir se W é subespaço vetorial de M(2,2,\mathbb{R}). Para isso vamos usar o critério de subespaço, que exige verificar:
  1. o elemento zero de M(2,2,\mathbb{R}) está em W;
  2. se X,Y\in W então X+Y\in W;
  3. se X\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda X\in W.]

Passo 2

Verificamos que o elemento zero
0 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix}
satisfaz a condição b = c - a, pois aqui a=0, c=0 e b=0, e 0 = 0 - 0. Logo 0\in W.]

Passo 3

Sejam
X=\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\[3pt] c_1 & d_1\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\[3pt] c_2 & d_2\end{pmatrix}
em W. Então b_1 = c_1 - a_1 e b_2 = c_2 - a_2. A soma é
X+Y = \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\[3pt] c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix}.
Verificamos
(b_1+b_2) = (c_1 - a_1) + (c_2 - a_2) = (c_1 + c_2) - (a_1 + a_2),
então X+Y também satisfaz a condição e pertence a W.]

Passo 4

Seja \lambda\in\mathbb{R} e
X=\begin{pmatrix}a & b \\[3pt] c & d\end{pmatrix}\in W,
com b = c - a. Então
\lambda X = \begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\[3pt] \lambda c & \lambda d\end{pmatrix}.
E
\lambda b = \lambda(c - a) = \lambda c - \lambda a,
logo \lambda X também satisfaz a condição, ou seja, \lambda X\in W.]

Passo 5

Como o zero está em W, W é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de M(2,2,\mathbb{R}).

Resposta

W é subespaço vetorial de M(2,2,\mathbb{R}).

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