Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
(d) W=\left\{\left.\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f\end{array}\right] \in M(2,3, \mathbb{R}) \right\rvert\, 2 f+5 b=e-4 a+2\right\},

Passo 1

O enunciado define
W = \Bigl\{\,\bigl[\begin{smallmatrix}a & b & c\\\ d & e & f\end{smallmatrix}\bigr]\in M(2,3,\mathbb{R}) \mid 2f + 5b = e - 4a + 2\Bigr\}.
Queremos decidir se W é subespaço vetorial de M(2,3,\mathbb{R}). Para isso, vamos usar as condições clássicas de subespaço: conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembrando as condições para W ser subespaço de M(2,3,\mathbb{R}):
  1. O\in W, onde O é a matriz nula.
  2. Se X,Y\in W então X+Y\in W.
  3. Se \lambda\in\mathbb{R} e X\in W, então \lambda X\in W.

Passo 3

Verificamos a condição 1, testando a matriz nula
O = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\[6pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Nesse caso, a=b=c=d=e=f=0. Substituindo na condição de W:
2f + 5b = 2\cdot 0 + 5\cdot 0 = 0, \quad e - 4a + 2 = 0 - 0 + 2 = 2.
Isso dá 0 = 2, o que é falso. Logo O\notin W.]

Resposta

W não é subespaço vetorial de M(2,3,\mathbb{R}).

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