Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas. \{(1,2,3),(3,4,5),(5,6, b)\} em \mathbb{R}^{3}, onde b \neq 7.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de vetores \{(1,2,3),\,(3,4,5),\,(5,6,b)\} em \mathbb{R}^3 e pede para decidir se são linearmente dependentes ou independentes. Para isso usaremos o critério de que três vetores em \mathbb{R}^3 são independentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero.
Passo 2
Escolhemos montar a matriz A cujas colunas são esses vetores:
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\\\ 2 & 4 & 6\\\\ 3 & 5 & b \end{pmatrix}.
O próximo passo é calcular \det A.
Passo 3
Aplicando a regra de Sarrus (ou cofactores) obtemos