Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas.
\{(1,2,3),(3,4,5),(5,6, b)\} em \mathbb{R}^{3}, onde b \neq 7.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores \{(1,2,3),\,(3,4,5),\,(5,6,b)\} em \mathbb{R}^3 e pede para decidir se são linearmente dependentes ou independentes. Para isso usaremos o critério de que três vetores em \mathbb{R}^3 são independentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero.

Passo 2

Escolhemos montar a matriz A cujas colunas são esses vetores:
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\\\ 2 & 4 & 6\\\\ 3 & 5 & b \end{pmatrix}.
O próximo passo é calcular \det A.

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus (ou cofactores) obtemos
\det A =1\,(4\,b - 6\cdot5)\;-\;3\,(2\,b - 6\cdot3)\;+\;5\,(2\cdot5 - 4\cdot3) =4b - 30 - (6b - 54) + 5(-2) =14 - 2b.

Passo 4

O conjunto é linearmente independente se, e somente se, \det A\neq 0. Portanto
\det A = 14 - 2b \neq 0 \iff b \neq 7.
Como o enunciado já estabelece b\neq 7, concluímos que \det A\neq 0.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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