Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas.
\{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)\} \subset \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado apresenta os vetores (1,2,3), (2,3,4) e (3,4,5) em \mathbb{R}^3 e pede para verificar se são linearmente independentes ou dependentes. Vamos usar a condição de que um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 é linearmente dependente sempre que a matriz formada por eles tiver determinante zero.

Passo 2

Formamos a matriz cujas linhas são os vetores dados:
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 4 \\\\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante:
\det(M) = 1\cdot(3\cdot5 - 4\cdot4) -2\cdot(2\cdot5 - 4\cdot3) +3\cdot(2\cdot4 - 3\cdot3) = 1\cdot(-1) -2\cdot(-2) +3\cdot(-1) = -1 +4 -3 = 0.
Como \det(M)=0, concluímos que os vetores não formam uma base de \mathbb{R}^3 e, portanto, são linearmente dependentes.

Passo 3

Uma combinação não trivial que anula esses vetores é
-1\,(1,2,3) \;+\;2\,(2,3,4)\;-\;1\,(3,4,5)\;=\;(0,0,0),
o que confirma a dependência linear.

Resposta

O conjunto \{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)\} é linearmente dependente.

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