Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas.
\{2,1,0),(1,0,2),(0,1,1)\} em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1 = (2,1,0),\quad v_2 = (1,0,2),\quad v_3 = (0,1,1),
e pede para verificar se eles são linearmente independentes, isto é, se a única solução da combinação \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = (0,0,0) é \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação vetorial igual a zero:
\alpha_1(2,1,0) + \alpha_2(1,0,2) + \alpha_3(0,1,1) = (0,0,0).

Passo 3

Traduzindo em sistema de equações, obtemos
2\alpha_1 + \alpha_2 + 0\alpha_3 = 0,\quad \alpha_1 + 0\alpha_2 + \alpha_3 = 0,\quad 0\alpha_1 + 2\alpha_2 + \alpha_3 = 0.

Passo 4

Da primeira equação vem \alpha_2 = -2\alpha_1. Da segunda, \alpha_3 = -\alpha_1. Substituindo na terceira:
2(-2\alpha_1) + (-\alpha_1) = -4\alpha_1 - \alpha_1 = -5\alpha_1 = 0 \;\Rightarrow\;\alpha_1 = 0.
Logo \alpha_2 = 0 e \alpha_3 = 0.

Passo 5

Como a única solução é a trivial, concluímos que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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