Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas. \{(1,2,3,4),(2,4,0,8),(0,0,-6,0)\} \subset \mathbb{R}^{4}.
Passo 1
Temos os vetores \,v_{1}=(1,2,3,4),\;v_{2}=(2,4,0,8),\;v_{3}=(0,0,-6,0)\subset\mathbb{R}^{4}
e queremos decidir se \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente ou dependente. O conteúdo é definição de independência linear e solução de combinação linear.
Passo 2
A definição diz que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente se, na equação
c_{1}\,v_{1}+c_{2}\,v_{2}+c_{3}\,v_{3}=0,
a única solução para (c_{1},c_{2},c_{3}) é (0,0,0). Caso contrário, são linearmente dependentes.
Passo 3
Escrevemos a combinação componente a componente igual a zero:
Da primeira equação c_{1}+2c_{2}=0 vem c_{1}=-2c_{2}.
A segunda e a quarta 2c_{1}+4c_{2}=0 e 4c_{1}+8c_{2}=0 são redundantes e se anulam automaticamente com c_{1}=-2c_{2}.
Da terceira equação 3c_{1}-6c_{3}=0 obtemos