Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas.
\{(1,2,3,4),(2,4,0,8),(0,0,-6,0)\} \subset \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

Temos os vetores \,v_{1}=(1,2,3,4),\;v_{2}=(2,4,0,8),\;v_{3}=(0,0,-6,0)\subset\mathbb{R}^{4}
e queremos decidir se \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente ou dependente. O conteúdo é definição de independência linear e solução de combinação linear.

Passo 2

A definição diz que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente se, na equação
c_{1}\,v_{1}+c_{2}\,v_{2}+c_{3}\,v_{3}=0,
a única solução para (c_{1},c_{2},c_{3}) é (0,0,0). Caso contrário, são linearmente dependentes.

Passo 3

Escrevemos a combinação componente a componente igual a zero:
c_{1}(1,2,3,4)+c_{2}(2,4,0,8)+c_{3}(0,0,-6,0)=(0,0,0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} c_{1}+2c_{2}=0,\\\\ 2c_{1}+4c_{2}=0,\\\\ 3c_{1}-6c_{3}=0,\\\\ 4c_{1}+8c_{2}=0. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação c_{1}+2c_{2}=0 vem c_{1}=-2c_{2}.
A segunda e a quarta 2c_{1}+4c_{2}=0 e 4c_{1}+8c_{2}=0 são redundantes e se anulam automaticamente com c_{1}=-2c_{2}.
Da terceira equação 3c_{1}-6c_{3}=0 obtemos
3(-2c_{2})-6c_{3}=0 \;\Longrightarrow\;-6c_{2}-6c_{3}=0 \;\Longrightarrow\;c_{3}=-c_{2}.
Logo as soluções são
c_{1}=-2c_{2},\quad c_{3}=-c_{2},\quad c_{2}\text{ livre}.
Escolhendo c_{2}=1, por exemplo, obtemos a solução não trivial
c_{1}=-2,\;c_{2}=1,\;c_{3}=-1.

Passo 5

Isso mostra que existe relação não trivial
-2\,v_{1}+1\,v_{2}-1\,v_{3}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad v_{2}=2\,v_{1}+v_{3}.
Portanto os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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