Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas.
\{(1,2,3,4),(1,0,0,1),(0,0,1,0)\} \subset \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede para testar se o conjunto de vetores (1,2,3,4), (1,0,0,1) e (0,0,1,0) em \mathbb{R}^{4} é linearmente independente ou dependente. Isso envolve usar a definição de independência linear: verificar se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Vamos chamar de a, b e c os coeficientes na combinação linear
a\,(1,2,3,4) \;+\; b\,(1,0,0,1)\;+\; c\,(0,0,1,0) \;=\;(0,0,0,0).

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} a + b = 0,\\\\ 2a = 0,\\\\ 3a + c = 0,\\\\ 4a + b = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
– Da segunda equação 2a=0 vem a=0.
– Substituindo a=0 em a + b=0 b=0.
– Com a=0 em 3a + c=0 segue c=0.
– A quarta equação 4a + b=0 já está satisfeita por a=b=0.

Passo 5

Como a única solução é a=b=c=0, não há combinação não trivial que produza o vetor zero. Portanto os três vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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