Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas. \{(1,2,3,4),(1,0,0,1),(0,0,1,0)\} \subset \mathbb{R}^{4}.
Passo 1
O enunciado pede para testar se o conjunto de vetores (1,2,3,4), (1,0,0,1) e (0,0,1,0) em \mathbb{R}^{4} é linearmente independente ou dependente. Isso envolve usar a definição de independência linear: verificar se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos).
Passo 2
Vamos chamar de a, b e c os coeficientes na combinação linear
Igualando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} a + b = 0,\\\\ 2a = 0,\\\\ 3a + c = 0,\\\\ 4a + b = 0. \end{cases}
Passo 4
Resolvendo o sistema:
– Da segunda equação 2a=0 vem a=0.
– Substituindo a=0 em a + b=0 dá b=0.
– Com a=0 em 3a + c=0 segue c=0.
– A quarta equação 4a + b=0 já está satisfeita por a=b=0.
Passo 5
Como a única solução é a=b=c=0, não há combinação não trivial que produza o vetor zero. Portanto os três vetores são linearmente independentes.